05平面向量的线性运算 - 学生版.docxVIP

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教师姓名

学生姓名

年级

初三

上课时间

学科

数学

课题名称

平面向量的线性运算

待提升的知识点/题型

1、掌握实数与向量相乘满足的运算律

2、理解平行向量定理、了解单位向量相关概念

3、掌握向量的线性运算规则

4、掌握向量的合成与分解方法

Ⅰ知识梳理

知识点一：实数与向量相乘

1、实数与向量相乘的运算

设是一个实数，是向量，那么与相乘所得的积是一个向量，记作。

如果，且，那么的长度；

的方向：当时，与同方向；当时与反方向，

如果或，那么。

2、实数与向量相乘满足的运算律：设、为实数，则

（1）实数与向量相乘的结合律：；

（2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：；

（3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：。

3、平行向量定理

如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使。

4、单位向量

长度为1的向量叫单位向量。设为单位向量，则。

单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。

对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作。由实数与向量的乘积可知：，。

知识点二：向量的线性运算

1、向量的线性运算

向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。

2、一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中、是实数。

3、向量的合成与分解

如果、是两个不平行的向量，（、是实数），那么向量就是与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时向量、是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式。

平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上进行分解。

Ⅱ知识精析

一、实数与向量相乘

（一）典例分析、学一学

例1-1已知非零向量，求作：；；

例1-2计算：（1）；（2）

（3）（4）

例1-3如图，已知△ABC，AD、BE、CF是中线，G为重心，且，。用、表示下列向量：（1）；（2）；（3）；（4）。

例1-4下列语句中，错误的是（）

A．单位向量与任何向量都平行；

B．已知、、是非零向量，如果∥，∥，那么∥；

C．已知、、是非零向量，如果，，那么与是平行向量；

D．对于非零向量，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作，由实数与向量的乘积，可知．

例1-5如图，在△ABC中，，，延长AB到点，使，延长AC到点，使，连接，求和，并判断与是否平行。

例1-6设AM是△ABC中线，求证：.

（二）限时巩固，练一练

一、填空题

1、设是实数，是向量，当且时，的长度；当时，与方向；当时与方向，如果或，那么__。

2、默写平行向量定理：

3、向量与向量的关系是（）

4、计算：（）；（）

5、已知、为实数，那么（）

6、若，，则的取值范围是（）

7．用单位向量表示向量：若与的方向相反，且长度为5，则（）

8．已知向量关系式，用向量、表示向量，则（）

二．选择题

1、下列句子中，正确的是（）

A．向量与向量方向相反，大小相等；

B．向量与向量方向相同，大小不等；

C．向量与向量表示同一个向量；

D．向量与向量不共线．

2、已知，，且与反向，下列用向量表示向量的式子中正确的是（）

A．；B．；C．；D．．

三、已知向量，求作：，。

四、计算：

（1）

（2）

五、已知，，试问：向量与是否平行？为什么？

六、如图，线段AB、CD、EF有相同的中点O，设，，。请用，，分别表示下列向量：

F（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。

F

七．如图、已知，=。如果，试求。

二、向量的线性运算

（一）典例分析、学一学

例2-1如图，平行四边形ABCD是以向量、为边的平行四边形，AC、BD相交于点O，又，。试用、表示、和。

例2-2如图，已知两个不平行的向量、如下，求作：，

例2-3设M、N、P是△ABC的边BC、CA、AB上的点，且，，，连接MN、NP、PM。