1978年全国高中数学联赛试题及解析苏教版.pdf

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1978年全国高中数学竞赛题

一试题

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y=xyy

1．已知log，问当为何值时，(Ⅰ)0；(Ⅱ)0？

1x+3

2

x

x=xx

2．已知tan22(180°270°)，求cos2，cos的值．

2

x

3．设椭圆的中心为原点，它在轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的

端点的距离是10－5，求椭圆方程．

x2x=

4．已知方程2－9+80，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原

方程两根差的平方．

5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点

离桌面的高度．

ABMABCABCDCD

6．如图，设线段的中点为，从线段上的另一点向直线的一侧引线段，令线段的中

NBDPMNQPQAC

点为，的中点为，的中点为，求证：直线平分线段．

nknknnk－1n

7．证明：当、都是给定的正整数，且2，2时，(－1)可以写成个连续偶数的和．

8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．

ly=xPlQPQlx

9．已知直线：4和点(6，4)，在直线上求一点，使过的直线与直线以及轴在第Ⅰ

111

象限内围成三角形面积最小．

xyz=

++0，

10．求方程组的整数解．



333

xyz=

++－18



二试题

1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线

的延长线平分对边交点连成的线段．

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