2025年上海市数学高考一轮复习精讲精练 重难点04球的切、接问题及截面、翻折问题（3种考法）含详解.docx

重难点04球的切、接问题及截面、翻折问题（3种考法）

考法1：球的切、接问题

考法2：截面问题

考法3：翻折问题

考法1：球的切、接问题

1．（2023春?浦东新区校级期中）著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为

A． B． C． D．

2．（2023秋?虹口区期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为

A． B． C． D．

3．（2023?虹口区校级三模）已知圆锥是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点．有以下三个结论：

①三角形面积的最大值为2；②三棱锥体积的最大值为；③四面体外接球表面积的最小值为．

以上所有正确结论的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

4．（2024?浦东新区校级四模）圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为．

5．（2023秋?杨浦区校级期末）如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为．

6．（2023春?杨浦区校级期末）如图，是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现，在这个伟大发现中，球的体积与圆柱的体积之比为．

7．（2024春?虹口区校级期中）棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为．

8．（2024春?宝山区校级期中）如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧，若顶点，，到平面的距离分别为，2，3，则该正方体外接球的表面积为．

9．（2024?浦东新区校级模拟）半径为的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高，球缺的体积公式为．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，在圆锥内部放置一个小球，使其与圆锥侧面和底面都相切，过小球与圆锥侧面的切点所在的平面将小球分成两部分，则较小部分的球缺的体积与球的体积之比为．

10．（2023秋?松江区校级期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，，若，则．

11．（2023秋?徐汇区校级期中）水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切．若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是．

12．（2023?嘉定区模拟）如图，直三棱柱中，，，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为．

13．（2023?徐汇区校级三模）在中，，顶点在以为直径的圆上．点在平面上的射影为的中点，，则三棱锥外接球的半径为．

14．（2023?宝山区校级模拟）如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为．

15．（2023春?浦东新区校级期中）已知在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为．

16．（2024?普陀区校级模拟）已知三棱锥的所有棱长都相等，点是的中心，点为棱上一点，平面把三棱锥分成体积相等的两部分，平面与交于点，若点，，，都在球的表面上，点，，，都在球的表面上，则球与球表面积的比值为．

考法2：截面问题

1．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是.

2．（2023·上海嘉定·一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．

材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，

圆形截面

正方形截面

矩形截面

条件

r为圆半径

a为正方形边长

h为矩形的长，b为矩形的宽，

抗弯截面系数

(1)假