北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 数列 培优课2 数列的求和问题.ppt

第1章培优课2数列的求和问题

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重难探究·能力素养速提升

探究点一分组法求和【例1】已知在正项等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=24.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足bn=log2an,求数列{an+bn}的前n项和.

解(1)设数列{an}的公比为q(q0),∴an=a1·qn-1=2×2n-1=2n.(2)bn=log22n=n,设{an+bn}的前n项和为Sn,则Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)

规律方法1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.2.若数列{cn}的通项公式为其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求{cn}的前n项和.

变式训练1已知在等差数列{an}中,Sn+2=Sn+2n+3(n∈N+).(1)求an;

解(1)设等差数列{an}的公差为d,∵Sn+2=Sn+2n+3(n∈N+),所以Sn+2-Sn=an+1+an+2=2n+3,可得an+2+an+3=2n+5,两式相减可得2d=2,所以d=1;所以an+1+an+2=an+1+an+2=2n+3,可得an=n.

探究点二裂项相消法求和【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn,满足S2=2,S4=16,{an+1}是等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若an0,设bn=log2(3an+3),求数列的前n项和.

解(1)设等比数列{an+1}的公比为q,其前n项和为Tn,因为S2=2,S4=16,所以T2=4,T4=20,当q=-2时,a1=-5,所以an+1=(-4)×(-2)n-1=-(-2)n+1.

规律方法把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,从而达到求和的目的.常见的拆项公式:

变式训练2在①Sn0,-a3=4,②数列的前3项和为6,③an0且a1,a2,a4+2成等比数列这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,a1=1,.?(1)求an;(2)设,求数列{bn}的前n项和Tn.

解(1)选条件①:设等差数列{an}的公差为d,则由-a3=4得(a1+d)2-(a1+2d)=4,将a1=1代入,解得d=2或d=-2,因为Sn0,所以d=2,所以an=2n-1.选条件②:设等差数列{an}的公差为d,选条件③:设等差数列{an}的公差为d,则由a1,a2,a4+2成等比数列得(a1+d)2=a1(a1+3d+2),将a1=1代入得d2-d-2=0,解得d=2或d=-1,因为an0,所以d=2,所以an=2n-1.

探究点三错位相减法求和【例3】设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.

解(1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故{an}的公比为-2.(2)记Sn为{nan}的前n项和.由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.

规律方法1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时要注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.

变式训练3已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,在等差数列{bn}中,bn0,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.(1)求数列{anbn}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.

解(1)∵an=3n-1,∴a1=1,a2=3,a3=9.∵在等差数列{bn}中,b1+b2+b3=15,∴3b2=15,则b2=5.设等差数列{bn}的公差为d,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,∴(1+5-d)(9+5+d)=64,