北师版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第四章 §4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 §5 信息技术支持的函数研究.pptVIP

;;内容索引;基础落实?必备知识全过关;知识点指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

1.幂函数与对数函数增长的比较

幂函数y=xc(x0,c0)比对数函数y=logbx(b1)增长快,而且快很多.当b1,c0时,即使b很接近于1,c很接近于0,都有y=xc比y=logbx增长快.

2.指数函数与幂函数增长的比较

当x的值充分大时,指数函数y=ax(a1)比幂函数y=xc(x0,c0)增长快,而且快很多.当a1,c0时,即使a很接近于1,c很大,都有y=ax比y=xc增长快.;名师点睛

1.对数函数y=logbx(b1)在区间(0,+∞)上,随着x的增长,增长得越来越慢,图象渐渐地接近与x轴平行,尽管在x的一定变化范围内,logbx可能会大于xc,但是由于logbx的增长慢于xc的增长,因此总存在一个x0,当xx0时就会有logbxxc.

2.对于指数函数y=ax(a1)和幂函数y=xc(x0,c0),在区间(0,+∞)上,无论c比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xc,但由于ax的增长快于xc的增长,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有axxc.;过关自诊

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)y=ax(a1),y=xn(x0,n1)和y=logax(a1)都是增函数,且它们的增长速度是一样的.()

(2)指数函数一定比对数函数增长的快.();重难探究?能力素养全提升;;(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量的值.当xx1时,f(x)g(x);

当x1xx2时,f(x)g(x);

当xx2时,f(x)g(x).

因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,

所以x1∈[1,2],即a=1.

又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,

f(8)g(8),f(9)=29=512,

g(9)=93=729,f(9)g(9),

f(10)=210=1024,g(10)=103=1000,f(10)g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.综上可知,a=1,b=9.;规律方法比较函数增长快慢的方法

(1)利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢;(2)借助函数图象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢;(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢.;变式训练1

(1)下列所给函数,当x越来越大时,增长最快的是()

A.y=5x B.y=x5

C.y=log5x D.y=5x

(2)以下是三个函数y1,y2,y3随x变化的函数值列表:;答案(1)D(2)y1;;(2)令函数y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图象如图,然后作直线x=0.3,此直线必与上述三个函数图象相交.由图象知log20.30.3220.3.;规律方法1.比较函数值大小的关键在于构造恰当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同而底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量.

2.将涉及的函数图象在同一直角坐标系中画出来,通过图象位置之间的关系比较大小.;变式训练2

设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为()

A.abc B.bac

C.bca D.cab;;解借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限的图象如图所示;;对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上单调递增,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x在(-∞,+∞)上是增函数,故当x∈(806,1000]时,y5,因此,也不符合要求.

对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上单调递增,且当x=1000时,

y=log71000+1≈4.555,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.

再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否超过利润x的25%,即当

x∈[10,1000]时,利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x的图象(图略),由图象可知f(x)在[10,1000]上单调递减,因此f(x)f(10)≈-0.31670,即log7x+10.25x.所以当x∈[10,1000]时,y0.25x.

这说明,按模型y=log7x+1进行奖励,奖金不超过利润的25%.综上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.;规律方法1.在实际问题中,选择函数模型时,首先要明确各种不同函数在增长快慢上的差异,其次要根据问题的实际需要,辅之以必要的数据计算,从而选择最恰当的函数模型.

2.从这个