北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第6章 立体几何初步 本章总结提升.pptVIP

第六章本章总结提升

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网络构建·归纳整合

专题突破·素养提升

专题一几何体的表面积与体积1.主要考查多面体、旋转体的表面积,旋转体的侧面展开图,柱体、锥体、台体的体积,球的表面积和体积,不规则几何体常用等体积法、分割法、补形法等进行求解.2.利用公式求解表面积、体积,提高数学运算素养.

【例1】如图,截角四面体是一种半正八面体,可由四面体经过适当的截角,即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图,将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体.求:(1)该截角四面体的表面积;(2)该截角四面体的体积.

解(1)依题意,该截角四面体是由4个边长为1的正三角形和4个边长为1的正六边形围成,

(2)该截角四面体是棱长为3的正四面体去掉4个角上棱长为1的正四面体而得,

规律方法关于空间几何体的体积、表面积,首先要准确确定几何体的基本量,如球的半径,几何体的高、棱长等,其次是准确代入相关的公式计算.

变式训练1(1)如图所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,则三棱锥B1-ABC1的体积为()A

(2)某圆台的母线长为2,母线与轴所在直线的夹角是60°,且上、下底面的面积之比为1∶4,则该圆台外接球的表面积为()A.56π B.64πC.112π D.128πC

专题二空间中的平行关系1.空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行,主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行.2.通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化,提升逻辑推理和直观想象素养.

【例2】已知M,N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的棱AB,PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)MN∥PE.

证明(1)如图,取DC的中点Q,连接MQ,NQ.∵NQ是△PDC的中位线,∴NQ∥PD.∵NQ?平面PAD,PD?平面PAD,∴NQ∥平面PAD.∵M是AB的中点,四边形ABCD是平行四边形,∴MQ∥AD.∵MQ?平面PAD,AD?平面PAD,∴MQ∥平面PAD.∵MQ∩NQ=Q,MQ?平面MNQ,NQ?平面MNQ,∴平面MNQ∥平面PAD.∵MN?平面MNQ,∴MN∥平面PAD.(2)∵平面MNQ∥平面PAD,平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE,∴MN∥PE.

规律方法线线平行、线面平行、面面平行相互间的转化

变式训练2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为DD1,BB1的中点.(1)求证:CF∥平面A1EC1;(2)过点D作正方体截面使其与平面A1EC1平行,请给以证明并求出该截面图形的面积.

(1)证明取CC1中点M,连接ME,B1M.由MC∥FB1且MC=FB1,可得四边形MCFB1为平行四边形,则FC∥MB1.由ME∥A1B1且ME=A1B1,可得四边形MEA1B1为平行四边形,则A1E∥MB1,则A1E∥FC.又A1E?平面A1EC1,CF?平面A1EC1,则CF∥平面A1EC1.

(2)解取AA1,CC1中点G,H,连接DG,GB1,B1H,HD.易知四边形DGB1H为平行四边形,且DH∥C1E,DG∥A1E.又因为DH,DG?平面DGB1H,DH∩DG=D,A1E,C1E?平面A1EC1,A1E∩C1E=E,所以平面DGB1H∥平面A1EC1,平面DGB1H即为所求截面.

专题三空间中的垂直关系1.主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理,以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化.2.通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化,提升直观想象和逻辑推理素养.

【例3】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直线A1F∥平面ADE.

(1)证明因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1∩DE=E,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)证明因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.又因为CC1,B1C1?平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又AD?平面ADE,A1F?平面ADE,所以A1