北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第二章 导数及其应用 4.1 导数的加法与减法法则~4.2 导数的乘法与除法法则.ppt

4.1导数的加法与减法法则~4.2导数的乘法与除法法则第二章

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

课标要求1.掌握导数的四则运算法则.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则求简单函数的导数.

基础落实?必备知识全过关

知识点导数的四则运算法则1.导数的加法与减法法则两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差),即[f(x)+g(x)]=,?[f(x)-g(x)]=.?2.导数的乘法与除法法则注意比较两个公式分子结构的异同点一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x),则[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x),f(x)+g(x)f(x)-g(x)

名师点睛1.两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个函数和与差的情形:[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]=f1(x)±f2(x)±…±fn(x).2.在[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)中令g(x)=k,则有[kf(x)]=kf(x),k∈R.

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数f(x)=xex的导数是f(x)=ex(x+1).()√√×√

2.设f(x)=tanx,如何用求导法则求f(x)?

重难探究?能力素养全提升

探究点一利用导数的加法与减法法则求导【例1】(1)y=x-2+x2;(2)y=x2-log3x;(3)y=(x+1)(x+2)(x+3);(4)y=sinx+cosx.解(1)y=2x-2x-3.(2)y=(x2-log3x)=(x2)-(log3x)=(3)∵y=(x+1)(x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y=(x3+6x2+11x+6)=3x2+12x+11.(4)y=(sinx)+(cosx)=cosx-sinx.

规律方法1.分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定求导法则、基本公式.2.利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.比如本例第(3)小题就适合先变为和差的形式再求导.

变式训练1利用导数的加法与减法法则求导:(1)y=3x+x9;(2)y=x-3-lgx;(3)y=(x-1)(x-).?

探究点二利用导数的乘法与除法法则求导【例2】求下列函数的导数.

规律方法1.注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数公式中是“+”,而商的导数公式中分子上是“-”.2.如果求导式比较复杂,则需要对式子先变形再求导.常用的变形有乘积式展开变为和式求导、商式变乘积式求导、三角函数恒等变换后求导等.3.注意体会例2(3)小题的求解思路与例1(3)求解思路的不同,一般多项式乘积形式的求导变为和差形式求导更为简洁.

变式训练2求下列函数的导数.

探究点三求导法则的综合应用角度1求导法则的逆向应用【例3】设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f(x)=2x+1.求y=f(x)的函数表达式.

规律方法待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题,然后利用已知条件解出所设未知数,进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式,特别是已知具有某些特征的函数.

变式训练3已知f(x)是一次函数,x2·f(x)-(2x-1)·f(x)=1对一切x∈R恒成立,求f(x)的解析式.

角度2求导法则在导数几何意义中的应用【例4】已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点的坐标.分析利用导数的几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点.

解(1)∵f(x)=(x3+x-16)=3x2+1,∴在点(2,-6)处的切线的斜率k=f(2)=3×22+1=13,故切线的方程为y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.(2)(方法一)设切点为(x0,y0),又直线l过点(0,0),解得x0=-2.因此y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.故直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).

规律方法1.此类问题主要涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,解题方法为把其他题设条件转化为这三个要素间的关系,构建方程(组)求解.2.准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.

变式训练4已知函数