北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 6.1 第1课时 余弦定理.pptVIP

;基础落实·必备知识全过关;课程标准;;知识点一余弦定理及其变形

1.余弦定理

三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍,即

a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.;2.余弦定理的变形;名师点睛

1.对余弦定理的理解

(1)适用范围:余弦定理对任意三角形都成立.

(2)揭示规律:余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系,若已知三角形的两边及其夹角,可以直接求三角形的第三边.实际上,若已知其中的任意三个量,都可以求出第四个量.;2.余弦定理与勾股定理的关系

在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,若角C=90°,则cosC=0,于是c2=a2+b2-2ab·0=a2+b2,这说明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广.

设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角),则

a2+b2c2?△ABC是钝角三角形,且角C为钝角;

a2+b2=c2?△ABC是直角三角形,且角C为直角;

a2+b2c2?△ABC是锐角三角形,且角C为锐角.;3.对余弦定理的变形的理解

(1)利用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式.一般地,求边长时,使用余弦定理;求角时,使用余弦定理的变形.

(2)余弦定理及其变形在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择.

(3)应用余弦定理的变形,可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角.

(4)余弦定理及其变形把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.;过关自诊

1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形.()

(2)在△ABC中,已知两边及其夹角时,△ABC不一定唯一.()

(3)在△ABC中,若a2+b2-c2=0,则角C为直角.()

(4)在△ABC中,若a2+b2-c20,则角C为钝角.()

(5)在△ABC中,若a2+b2-c20,则△ABC为锐角三角形.();2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值

为();3.在边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是.?;4.[人教A版教材习题]在△ABC中,已知a=5,b=2,C=,求c.;知识点二三角形的面积公式

1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则

S△ABC=aha==.?

2.在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则

S△ABC=absinC==.?;名师点睛

三角形面积公式的其他形式;过关自诊

1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)求三角形的面积时,每条边都可以作为底.()

(2)直角三角形只要已知斜边就能求出面积.()

(3)已知三角形的三边不能求出三角形的面积.()

2.在△ABC中,已知b=1,c=2,A=150°,则△ABC的面积为.?;3.在△ABC中,AB=,D为BC的中点,AD=1,∠BAD=30°,则△ABC的面积S△ABC=.?;;探究点一已知两边及一角解三角形;规律方法已知三角形的两边及一角解三角形的方法

已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,则可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,则可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.;变式训练1(1)在△ABC中,AB=5,BC=1,tanB=,则AC=.?;探究点二已知三边解三角形;变式探究本例(2)中,将条件变为“三角形的三条边长分别为”,求其最大角与最小角之和.;规律方法已知三角形的三边解三角形的步骤

(1)分别用余弦定理的变形求出两个角;

(2)用三角形内角和定理求出第三个角.;探究点三利用余弦定理判断三角形的形状;规律方法1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:(1)先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.(2)先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.

2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:

(1)△ABC为直角三角形?a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.

(2)△ABC为锐角三角形?a2+b2c2,且b2+c2a2,且c2+a2