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成考（专升本）高数（二）多元函数的极限
多元函数极限的基本概念
01
CONTENTS
目录
多元函数极限的计算方法
02
多元函数极限的应用
03
01
多元函数极限的基本概念
二元函数极限是指当自变量(x,
y)趋向于某一点(x0,
y0)时，函数f(x,
y)趋向于某一确定的值A。
若对于任意小的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0
√[(x-
x0)²+(y-
y0)²]
δ时，有|f(x,
y)
-
A|
ε。
极限存在要求点(x,
y)以任意方式趋向于(x0,
y0)，f(x,
y)都能无限接近A。
多元函数极限可以推广到n元函数，即当自变量向量(x1,
x2,
...,
xn)趋向于某一点(x01,
x02,
...,
x0n)时，函数f(x1,
x2,
...,
xn)趋向于某一确定的值A。
类似于二元函数，多元函数极限的定义涉及一个n维空间中的ε-
δ条件。
多元函数极限的验证通常需要考虑自变量在n维空间中的任意路径。
极限存在的必要条件是，对于任意接近(x0,
y0)的点，f(x,
y)的函数值都接近A。
充分条件是，对于任意给定的ε
0，总能找到一个δ
0，使得当点(x,
y)满足上述δ条件时，f(x,
y)满足ε条件。
极限的存在性还需要函数在点(x0,
y0)附近有定义，但不一定在点(x0,
y0)本身有定义。
当点(x,
y)趋向于(x0,
y0)时，如果f(x,
y)的值不趋向于任何特定值，则称极限不存在。
极限不存在可能表现为函数值在不同路径上趋向于不同的值。
还可能是函数值在某些路径上趋于无穷大或不存在。
二元函数极限的定义
多元函数极限的定义
极限存在的条件
极限不存在的情况
极限的定义
01
极限的基本性质
极限具有唯一性，即若极限存在，则其值唯一。
极限具有局部有界性，即存在一个去心邻域，函数值在此邻域内是有界的。
极限具有保号性，即如果f(x,
y)在(x0,
y0)附近始终大于（或小于）0，则其极限也大于（或小于）0。
02
极限的四则运算法则
如果f(x,
y)和g(x,
y)的极限分别存在，则它们的和、差、积和商（除数不为零）的极限也存在。
对于常数k，k乘以f(x,
y)的极限等于k乘以f(x,
y)极限的值。
极限的四则运算法则在多元函数极限计算中同样适用。
03
极限的复合函数性质
如果内函数的极限存在且落在外函数的定义域内，则复合函数的极限等于外函数在内函数极限点的值。
如果内函数的极限是外函数连续点的值，则复合函数的极限可以交换内外函数极限的顺序。
复合函数极限的求法常用于简化极限问题。
04
极限的有界性
如果一个函数在某一点的极限存在，则该函数在这一点附近是有界的。
有界性意味着存在一个实数M，使得函数的值在这一点附近的绝对值不超过M。
有界性是极限存在的一个必要条件，但不是充分条件。
极限的性质
无穷小的定义与性质
无穷小是指其绝对值可以任意小的量。
无穷小量在极限过程中的值趋向于0。
无穷小量的运算遵循特殊的规则，如无穷小量的和、差仍为无穷小量。
无穷大的定义与性质
无穷大是指其绝对值可以任意大的量。
当自变量趋向于某一点时，若函数的绝对值趋向于无穷大，则称该函数在该点趋向于无穷大。
无穷大的运算中，无穷大与有限数的和为无穷大，无穷大与无穷大的乘积也是无穷大。
无穷小与无穷大
02
多元函数极限的计算方法
等价无穷小替换法
在极限过程中，将函数中的无穷小量替换为其等价无穷小，简化计算
需要熟悉常见的等价无穷小替换关系
等价无穷小替换法常用于含有根号、三角函数等表达式的极限计算
直接代入法
当函数在点P的某个邻域内连续时，可以直接将P的坐标代入函数中求解极限
对于简单函数，直接代入是求解极限的最直观方法
直接代入法适用于一阶或高阶连续函数的极限计算
复合函数极限法
将复杂函数分解为简单函数的复合，分别计算各部分的极限
需要掌握复合函数极限的计算规则
复合函数极限法适用于多步骤函数的极限计算
极限存在定理法
利用极限存在定理来判断极限是否存在
包括夹逼定理、海涅定理等，需要掌握各个定理的使用条件
极限存在定理法适用于证明极限存在性，但不直接给出极限值
极限的求解方法
连续函数在某点极限存在且等于该点的函数值
需要判断函数在给定点的连续性
连续函数极限的计算通常较为直接
连续函数的极限
通过逐步逼近无定义点或边界点来求解极限
需要合理选择逼近路径和方式
逐步逼近法常用于判断极限是否存在以及计算极限值
逐步逼近法
可导函数的极限可以通过导数来求解
需要计算函数的偏导数
可导函数极限法适用于求解函数在可导点的极限
可导函数的极限
对于无定义点的极限，需要考虑函数在接近该点时的行为
常通过邻域极限或路径极限来分析
无定义点极限的分析可能需要更复杂的证明技巧
无定义
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