北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 5.1 向量的数量积.pptVIP

第二章5.1向量的数量积

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课程标准1.了解向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量与投影数量.3.会利用向量数量积的运算律和性质进行计算或证明.

基础落实·必备知识全过关

知识点一向量的数量积的定义如图,已知两个非零向量a和b,作=b,向量a与b的夹角∠AOB记为a,b或θ(0°≤θ≤180°).|a||b|cosθ称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosa,b=|a||b|cosθ.该值与3个量有关规定零向量与任一向量的数量积为0.当0°≤a,b90°时,a·b0;当a,b=90°时,a·b=0;当90°a,b≤180°时,a·b0;当a,b=0°时,a·b=|a||b|;当a,b=180°时,a·b=-|a||b|.

名师点睛对数量积含义的理解(1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或ab.(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量.(3)两个向量的数量积为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦值的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角θ的余弦值决定.

过关自诊1.[人教A版教材例题]已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=,求a·b.

2.[人教A版教材习题]已知△ABC中,=b,当a·b0或a·b=0时,试判断△ABC的形状.

知识点二投影不是向量,而是一个数量,可正,可负,可为0投影向量

2.由向量投影的定义,可以得到向量的数量积a·b的几何意义:b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cosθ的乘积(如右图);或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cosθ的乘积.

名师点睛1.a在b上的投影与b在a上的投影是不同的.2.向量b在向量a方向上的投影数量不是向量而是数量,它的符号取决于a与b的夹角θ的余弦值.

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)向量a在向量b方向上的投影一定是正数.()(2)向量a在向量b上的投影数量等于向量b在向量a上的投影数量.()××

2.按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cosθ,我们可以如何借助图形分析其具体情况?提示

知识点三数量积的运算律与性质1.数量积的运算律对任意的向量a,b,c和实数λ:(1)交换律:a·b=b·a;(2)与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb);(3)关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.2.数量积的性质(1)若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cosa,e;(2)若a,b是非零向量,则a·b=0?a⊥b;(3)a·a=|a|2,即|a|=(4)|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.

名师点睛1.已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc?a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即若已知向量a,b,c,b≠0,a·b=b·ca=c.2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.3.常用运算公式(1)(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2.(2)(a-b)·(a-b)=|a|2-2a·b+|b|2.(3)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)两个向量的数量积是一个向量.()(2)若a·b=b·c,则一定有a=c.()(3)(a-b)·c=a·c-b·c.()2.在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0;在向量数量积的运算中,能由a·b=0推出a=0或b=0吗?××√提示不能.当a·b=0时,a=0或b=0或a≠0,b≠0,但a⊥b.

重难探究·能力素养全提升

探究点一平面向量的数量积角度1.数量积的简单计算【例1】已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)(2a-b)·(a+3b).(2)(2a-b)·(a+3b)=2|a|2+5|a||b|cos120°-3|b|2=8-15-27=-34.

规律方法求向量的数量积时,需明确两个关键点,相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律进行化简,再进行数量积