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第三章傅里叶级数

一.周期信号的傅里叶级数

形式丰角形式：单边频

形式丰角形式：单边频谱

频谱：离散性、谐波性、收敛性

定义及傅里叶变换存在的条件典型非周期信号的频谱

冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换

性质→应用：调制和解调→频分复用

周期信号的傅里叶变换：由一些冲激函数组成

抽样信号的傅里叶变换→抽样定理→应由.时公省田

知识要点

1、周期信号的傅里叶级数

任一满足狄利克雷条件的周期信号f(t)(I为其周期)可展开为傅里叶级数。

(1)三角函数形式的傅里叶级数

式中

n为正整数

直流分量

余弦分量的幅度

正弦分量的幅度

三角函数形式的傅里的另一种形式为

或

以上几种表示形式中各个量之间的关系为

a?=Co=d?

ca=d,=√a2+b2

an=c,cosφn=d,sin9

b=-c,sinφn=d,cos9n

(n=1,2,…)

an,cn,dn为no)的偶函数，b,φn,8%为no)的奇函数。

(2)指数形式的傅里叶级数

式中，n为从-0到+0的整数。频谱

Fn与其他系数之间的关系为F?=Co=d?=a?

|F,|+|F-n|=c

F,+F_n=ab,=j(F,-F_n)

F是n?1的偶函数。

函数的时域对称性与傅里的关系

①实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。

②实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项，只可能包含正弦项。

③实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和几次谐波的正弦、余弦项，而不包含偶次谐波项。

2.傅里叶变换

傅里叶变换定义为

正变换

逆变换

频谱密度函数F(o)一般是复函数,可以写作

F(o)=|F(o)|elo(o)

其中|F(o)|是F(o)的模,它代表信号中个频谱分量的相对大小,是0的偶函数。φ(o)是F(o)的相位函数,它表示信号中各频率分量之间的相位关系,是0的奇函数。

3.傅里叶变换的基本性质

(1)对称性

若F(o)=flf()],则f[F()]=2πf(-o)

(2)线性性

若flf;(]=F(o)(i=1,2,…,n),则

(3)奇偶虚实性

若F(o)=R(o)+jX(o),则

①f(1)是实偶函数f(o)=R(o),即f(o)为0的实偶函数。

②f(1)是实奇函数f(o)=jX(o),即f(o)为0的虚奇函数。

(4)尺度变换特性

若fLf()]=F(o),则式中a为非零实常数。

(5)时移特性

若f[f(t)]=F(w),则f[f(t-t?)]=F(o)e-ion

(6)频移特性

若f[f(0)]=F(0),则f[f(t)e?]=F(w-0)

(7)时域微分特性

若fLf(t)]=F(w),

(8)频域微分特性

若f[f(t)]=F(の),则

(9)时域积分特性

若f[f(t)]=F(w),则

(10)时域卷积定理

若flf;(D]=F(o),fLf?()]=F?(o),则flf;(1)*f?()]=F(o)F?(o)

(11)频域卷积定理

若fLf(t)]=F?(の),f[f?(1)]=F?(の),则

4.周期信号的傅里叶变换

周期信号f(1)的傅里叶変换是由一些冲激函数组成的,这些冲激位于信号的谐频(0,±oγ,±2o),…)处,每个冲激的强度等于f(1)的傅里叶级数的相应系数F,的2π倍。即

其中Fr还可用下式获得

上式说明:周期脉冲序列的傅里叶级数的系数F単脉冲的傅里叶変换「(o)在no)频率点

的值乘以0

利用单脉冲的傅里叶变换式可以很方便地求出周期性脉冲序列的傅里叶系数。5.冲激抽样信号的频谱

冲激抽样信号的频谱为

其中で为抽样周期,f(o)为被抽样信号f(1)的频谱。上式表明,信号在时域被冲激序

抽样后，它的频谱F,(@)是连续信号频谱f(0)一抽样频谱”为周期等幅地重复。6.抽样定理

(1)时域抽样定理

一个频谱受限的信号f(t),如果频谱只占据-0m～+0m的范围，则信号f(t)可以用等间

隔抽样值唯一地表示。而抽样间隔必须不大于(其中@m=2πfm),或者说，最低抽

样频率为2fm,

(2)频域抽样定理

若信号f(t)是时间受限信号，它集中在-tm～+tm的时间范围内，若在频域中以不大于

的频率间隔对f(t)的频谱F(の)进行抽样.则抽样后的频谱F?(w)可以唯一地表示原

信号。

基本要求

通过本章的学习，学生应掌握周期信号的频谱分析方法——傅里叶级数法和非周期信号的频域分析法——傅里叶变化方法。理解非周期信号频谱密度函数的概念，周期信号与非周期信号的品牌的特点与抽样定理。能利用傅里叶变换的定义和性质信号的频谱并绘制频谱

图。重点掌握典型信号的