专题2.1 直线的倾斜角与斜率--解析版.docxVIP

专题2.1直线的倾斜角与斜率

【知识点1直线的倾斜角与斜率】

1．直线的倾斜角

(1)倾斜角的定义

①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.

2．直线的斜率

(1)直线的斜率

把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.

(2)斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角(范围)

α＝0°

0°α90°

α＝90°

90°α180°

斜率(范围)

k＝0

k0

不存在

k0

(3)过两点的直线的斜率公式

过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).

【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．

(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．

【知识点2两条直线平行的判定】

1．两条直线(不重合)平行的判定

类型

斜率存在

斜率不存在

前提条件

α1＝α2≠90°

α1＝α2＝90°

对应关系

l1∥l2?k1＝k2

l1∥l2?两直线的斜率都不存在

图示

【知识点3两条直线垂直的判定】

1．两条直线垂直的判定

图示

对应关系

l1⊥l2(两直线的斜率都存在)?k1k2＝－1

l1的斜率不存在，l2的斜率为0?l1⊥l2

【注】判断两条直线是否垂直时：

在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与

x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．

【题型1求直线的倾斜角】

【例1】（2023-2024·高二上·山东潍坊·期中）已知直线经过点和，则的倾斜角为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求解出的斜率，然后根据求解出倾斜角.

【详解】设直线的倾斜角为，

因为，

所以且，

所以，

故选：C.

【变式1-1】（2023-2024·高二上·山东名校联盟·期中）直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解.

【详解】由直线，可得直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，可得，

因为，所以.

故选：A.

【变式1-2】（2023-2024·高二上·山东菏泽·期中）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.

【详解】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率为，即直线的倾斜角的大小是.

故答案为：.

【题型2求直线的斜率】

【例2】（2022-2023·高二上·山东烟台·期中）已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求得直线的倾斜角，从而求得直线的倾斜角，进而求得直线的斜率.

【详解】直线过原点和，所以斜率为，倾斜角为，

所以直线的倾斜角为，斜率为.

故选：A

【变式2-1】（2023-2024·高二上·山东临沂·期中）已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数______．

【答案】

【解析】

【分析】根据直线斜率的定义和两点求斜率公式建立方程，解之即可.

【详解】由题意知，

该直线的斜率为，

解得.

故答案为：.

【变式2-2】（2023-2024·高二上·山东淄博·期中）经过两点的直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据直线上任意两点可求出斜率，从而求出倾斜角.

【详解】由题意得，所以直线的倾斜角为；

故选：A

【变式2-3】（2023-2024·高二下·山东泰安·期末）已知直线l与x轴的夹角为30°，则直线l

A．33 B．3 C．33或?33

【答案】C

【分析】分直线l与x轴正方向和负方向的夹角为30°两种情况讨论，从而确定直线l

【详解】①当直线l与x轴正方向的夹角为30°时，此时倾斜角为30°，斜率为

②当直线l与x轴负方向的夹角为30°时，此时倾斜角为150°，斜率为

综上，直线l的斜率为33或?

故选：C.

【题型3已知直线的倾斜角或斜率求参数】

【例3】（2023-2024·高二上·山东淄博·期中）若经过点和的直线的斜率为2，则（????）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

【分析】根据斜率公式求解．

【详解】由题意，解得，

故选：C．

【变式3-1】（2023-2024·高二上·山