北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 三角函数 1 周期变化.pptVIP

第一章1周期变化

基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引成果验收·课堂达标检测

课程标准1.了解现实生活中的周期现象,能初步判断简单的实际问题中的周期.2.理解周期函数的概念及最小正周期的意义.3.能判断一个函数是否为周期函数,能利用函数的周期求值.

基础落实·必备知识全过关

知识点一周期函数的概念1.周期函数一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D,且满足,那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期.?2.最小正周期如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个的正数,那么这个就称作函数y=f(x)的最小正周期.?不是所有的周期函数都存在最小正周期f(x+T)=f(x)最小最小正数

名师点睛周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x来说的,如果只有个别的x满足f(x+T)=f(x),不能说T是y=f(x)的周期.

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)钟表的分针每小时转一圈,它的运行是周期现象.()(2)函数f(x)=5x2满足f(-3+6)=f(-3),那么函数y=f(x)的周期为6.()2.如果钟摆每经过2s就回到竖直状态,那么每经过多少秒可以再回到最左边位置呢?√×提示回到竖直状态的时间间隔为2s,即半个周期,而再回到最左边的间隔时间,也就是一个周期,所以是4s.3.常数函数是周期函数吗?存在最小正周期吗?提示根据周期函数的定义知,常数函数是周期函数,但不存在最小正周期.

知识点二函数周期性的常用结论对于函数y=f(x)定义域内任一自变量x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0);f(x)≠0

名师点睛函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x=a,x=b(ab),则函数f(x)是周期函数,且周期T=2(b-a)(不一定是最小正周期,下同).(2)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab),那么函数y=f(x)是周期函数,且周期T=2(b-a).(3)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B(b,0)(a≠b),那么函数y=f(x)是周期函数,且周期T=4|b-a|.

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若函数f(x)满足f(0)=f(5)=f(10),则它的周期T=5.()(2)若函数f(x)的周期T=5,则f(-5)=f(0)=f(5).()(3)若函数f(x)为R上的奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(2022)=0.()×√√

2.对于定义在R上的函数f(x),若f(x+a)=,能说f(x)为周期函数吗?提示不能,需要限制a≠0.3.如果今天是星期五,则59天后是星期几?提示每隔七天循环一次,59=7×8+3,故59天后为周一.4.已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数,且f(1)=2023,你能通过f(1)得出f(11)的值吗?提示f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2023.

重难探究·能力素养全提升

探究点一求函数的周期【例1】若对任意的x∈R,函数f(x)满足f(x+2022)=-f(x+2023),则函数f(x)的周期为.?2解析由f(x+2022)=-f(x+2023),得f(x+2022)=-f(x+2022+1),令x+2022=t,即f(t+1)=-f(t),所以f(t+2)=f(t),即函数f(x)的周期是2.

规律方法函数周期的求解方法求解函数的周期问题,要紧扣函数周期的定义,牢记函数周期的常用结论,熟练掌握函数的对称性与周期性的关系.

变式训练1已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=,则函数f(x)的周期为.?4所以f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4.

探究点二周期函数的判定【例2】设函数y=f(x),x∈R.若函数y=f(x)为偶函数并且图象关于直线x=a(a≠0)对称,求证:函数y=f(x)为周期函数.证明由图象关于x=a对称得f(2a-x)=f(x),即f(2a+x)=f(-x).因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),从而f(2a+x)=f(x),所以f(x)是以2a为周期的函数.

规律方法紧扣定义——判断一个函数为周期函数应用定义判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发,充分挖掘隐含条件,合理赋值,巧妙转