2023-2024学年天津市南开大学附属中学高二上学期期中数学试卷含详解.docx

南开大学附中23-24学年度第一学期期中检测

高二数学学科试卷

一、单选题（每题3分，共30分）

1.完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（）

A. B. C. D.

2.设随机变量，，则（）

A B. C. D.

3.已知，，那么等于

A. B. C. D.

4.已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（）

A.(0，1) B.(1，2)

C.(2，3) D.(0，1)(2，3)

5.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为

A B. C. D.

6.已知随机变量的分布列如表：

0

1

2

0.2

若，则（）

A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6

7.学校食堂分设有一?二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（）

A.0.18 B.0.28 C.0.42 D.0.65

8.已知，则（）

A.在上单调递增 B.在上单调递减

C.有极大值，无极小值 D.有极小值，无极大值

9.已知二项式ax+13x(a0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中项的系数为84

A.1 B. C.2 D.

10.已知甲?乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的均值为（）

A. B. C. D.

二、填空题（每题3分，共15分）

11.______．

12.已知函数的图象在点处的切线方程是，则_______．

13.在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的条件下，第2次也抽到理科题的概率为_____.

14.若，则______．

15.曲线在点处切线与坐标轴所围三角形的面积为_________.

三、解答题（第16题8分，第17题8分，第18题12分，第19题12分，第20题15分，共18分）

16.求下列函数的导数．

（1）；

（2）．

17.已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为．

（1）求n和a的值；

（2）求展开式中项系数

（3）求的展开式中的常数项．

18.6个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示）

（1）其中甲、乙必须相邻；

（2）其中甲、乙、丙3人两两不相邻；

（3）其中甲不站排头，乙不站排尾；

（4）其中甲、乙中间有且只有1人；

（5）其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）．

19.

盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分.现从盒内任取3个球

（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；

（Ⅱ）求取出3个球得分之和恰为1分的概率；

（Ⅲ）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.

20.已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)设，证明：当时，；

(3)若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明

南开大学附中23-24学年度第一学期期中检测

高二数学学科试卷

一、单选题（每题3分，共30分）

1.完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（）

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】由分类计数原理求解.

【详解】由题意得：，

故选：A

2.设随机变量，，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值.

【详解】因为随机变量，，

则.

故选：C.

3.已知，，那么等于

A. B. C. D.

【答案】B

【分析】根据条件概率公式得出可计算出结果.

【详解】由条件概率公式得，故选B.

【点睛】本题考查条件概率的计算，利用条件概率公式进行计算是解本题的关键，属于基础题.

4.已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（）

A.(0，1) B.(1，2)

C.(2，3) D.(0，1)(2，3)

【答案】B

【分析】根据函数的导数与函数的