大三上课件量子力学qm09.pptx

三、共同本征函数两个不对易算符均方偏差关系式测不准关系若两个力学量F和G不对易，则一般说来和不能同时为零，即F与G不能同时测定，或者说它们不能有共同本征态，反之，若两个厄密算符对易，则可以找出这样的态，使和，即可找到它们的共同本征态。定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。1

的共同本征态,球谐函数正交归一的共同本征函数表示为:称为球谐函数,它们满足:的本征值为：的本征值为：2?

例题123

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第四章力学量随时间的演化与对称性§4.1力学量随时间的演化在波函数?(x,t)所描写的态中，力学量A的平均值为(1)(2)一、力学量平均值随时间的变化7

由薛定谔方程，?因为?是厄密算符8

(3)这就是力学量平均值随时间变化的公式。若?不显含t，即:(4)则有:9

二、守恒量如果?既不显含时间，?又与?对易则有即这种力学量在任何态?之下的平均值都不随时间改变。(5)在任意态?下，此时A的概率分布也不随时间改变。我们称这样的力学量A为守恒量。[?,?]=0同时可以证明：10

式中即为守恒量在态中的概率，证明守恒量A其概率分布不随时间而变化因为，故具有共同本征函数系，任意状态可表为且概率分布函数11

故有所以即守恒量A的测量概率与时间无关，即概率分布不随时间而变化。12其中Cn(0)为t=0时力学量的概率分布函数，所以

概括起来讲，对于Hamilton量?不含时的量子体系，如果力学量?既不显含时间，又与?对易（[?,?]=0），则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系的一个守恒量。守恒量有两个特点：(1)在任何态?(t)之下的平均值都不随时间改变；(2)在任意态?(t)下A的概率分布不随时间改变。守恒量的特性13

与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初始条件决定。若在初始时刻(t=0)，守恒量A具有确定值，则以后任何时刻它都具有确定值，即体系将保持在?的同一个本征态。由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是，若初始时刻A并不具有确定值（这与经典力学不同），即?(0)并非?的本征态，则以后的状态也不是?的本征态，即A也不会具有确定值，但几率分布仍不随时间改变，其平均值也不随时间改变。量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量概念不同。这实质上是不确定度关系的反映。14

(b)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量都守恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外）。守恒量与定态的区别:定态是体系的一种特殊的状态,即能量本征态。守恒量则是体系的一种特殊的力学量,它与体系的Hamilton量对易。在定态下：一切力学量(不显含t，但不管是否守恒量)的平均值和测值概率分布都不随时间改变。而守恒量则在一切状态下(不管是否定态)的平均值和概率分布都不随时间改变。15

三、举例1、自由粒子动量守恒自由粒子的哈密顿算符：所以自由粒子的动量是守恒量。16

所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量2、?粒子在中心力场中运动：角动量守恒又，都是守恒量。p是否守恒量？17

3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒∵不显含t又∵∴即守恒（能量守恒）。18

位力(virial)定理当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力（virial）定理.设粒子处于势场中，Hamilton量为考虑的平均值随时间的变化，有19

对于定态，，所以即式中是粒子动能，上式即位力定理.位力(virial)定理P80页练习题？20

设质量为的粒子在势场中运动，用波包描述.