成考（专升本）高数（一）函数的基本概念与性质.pptxVIP

成考（专升本）高数（一）函数的基本概念与性质

目?录CONTENTS函数的基本概念01函数的极限03函数的运算02

01函数的基本概念

01函数可以通过映射规则定义，即每个输入值都有唯一的输出值。

函数也可以用数学表达式来定义，如?f(x)?=?x^2。

函数还可以用图形或表格来表示。函数的定义方法函数可以用解析式表示，例如?f(x)?=?2x?+?3。

函数可以用分段式表示，例如?f(x)?=?{?x+2,?x0;?x-?2,?x≥0?}。

函数可以用图形表示，即在坐标系中绘制出函数的图像。函数的表示方式定义域是函数可以接受的所有输入值的集合。

值域是函数所有可能的输出值的集合。

函数的定义域和值域可以是实数集的子集。函数的定义域和值域函数可以有连续性、可导性等性质。

函数可以有不同的增长或减少速率。

函数可以有极值点、拐点等特征。函数的性质030204函数的定义本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

这些函数是构建复杂函数的基础。

基本初等函数具有特定的图像和性质。复合函数复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。

例如，f(g(x))?表示将?g(x)?作为?f?的输入。

复合函数的性质依赖于组成它的各个函数。分段函数分段函数在不同的区间内由不同的表达式定义。

例如，绝对值函数?|x|?是一个分段函数。

分段函数需要分别考虑每个区间的性质。隐函数与参数方程函数隐函数不能直接表示为?y?=?f(x)?的形式。

参数方程函数通过参数?t?表示?x?和?y?的关系。

这类函数需要通过特定的方法来研究其性质。函数的分类

有界性指函数的值是否在某个范围内。

函数可以有上界、下界或同时有上界和下界。

有界函数的图像在坐标系中是有限的。有界性单调性描述函数值随输入值增加或减少的变化趋势。

函数可以是单调递增或单调递减。

单调性在分析函数的增减情况时非常重要。单调性奇偶性描述函数图像关于原点的对称性。

奇函数的图像关于原点中心对称。

偶函数的图像关于?y?轴对称。奇偶性周期性描述函数值重复出现的规律。

周期函数在每隔一定间隔后重复其值。

三角函数是周期函数的典型例子。周期性函数的性质

02函数的运算

加法与减法两个函数相加或相减，得到的结果是相应的函数值的和或差

加法或减法运算后，定义域不变

例如：f(x)?+?g(x)?=?(f+g)(x)乘法与除法两个函数相乘或相除，得到的结果是相应的函数值的积或商（除数不为零）

乘法运算后，定义域不变；除法运算后，定义域为两个函数定义域的交集去掉使分母为零的点

例如：f(x)?*?g(x)?=?(f*g)(x)，f(x)?/?g(x)?=?f(x)?/?(g(x)?!=?0)运算规则与示例运算规则遵循代数运算规则

示例：对多项式函数进行四则运算，得到新的多项式函数

示例：对指数函数进行四则运算，遵循指数法则运算的性质函数的加法和乘法运算满足交换律、结合律

函数的加法和乘法运算满足分配律

除法运算不满足交换律函数的四则运算反函数的方法交换原函数的x和y，解出y的表达式

确定反函数的定义域

例如：通过交换y?=?2x?+?3中的x和y，得到x?=?(y?-?3)?/?2，即反函数为y?=?(x?-?3)?/?2反函数的应用在实际问题中用于求解变量的逆关系

在函数图像的对称变换中应用

例如：在解代数方程时使用反函数概念反函数的定义如果两个函数互为反函数，则它们的图像关于直线y=x对称

反函数的定义域是原函数的值域，反之亦然

例如：如果f(x)的反函数是g(x)，则g(f(x))?=?x反函数的性质反函数的导数是原函数导数的倒数（在定义域内导数存在时）

反函数的图像与原函数图像关于y=x对称

例如：f(x)?=?x^2的反函数是g(x)?=?sqrt(x)，它们的导数分别是2x和1/(2sqrt(x))函数的反函数

复合函数是由两个函数组成的新函数，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入

复合函数记作(f°g)(x)?=?f(g(x))

例如：如果f(x)?=?x^2，g(x)?=?x?+?1，则复合函数h(x)?=?f(g(x))?=?(x?+?1)^2复合函数的定义确定内层函数的输出作为外层函数的输入

依次计算内外层函数的值

例如：对于f(x)?=?sin(x)和g(x)?=?2x，求解f(g(x))?=?sin(2x)复合函数的求解在物理学、工程学等领域求解复杂系统的模型

在函数图像的变换中应用

例如：使用复合函数概念分析信号处理中的滤波器效果复合函数的应用复合函数的定义域是内层函数定义域与外层函数定义域的交集

复合函数的导数是内外层函数导数的乘积（链式法则）

例如：如果f(x)?=?e^x，g(x)?=?x^2，则(f°g)(x)?