北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第5章 复数 3.1 复数的三角表示式--3.2 复数乘除运算的几何意义.pptVIP

3.1复数的三角表示式3.2复数乘除运算的几何意义第五章

课标要求1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.2.了解复数的代数形式与三角形式之间的关系.3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

基础落实?必备知识全过关

知识点一复数的三角表示式

这个式子称为复数z=a+bi(a,b∈R)的,简称三角形式.为了与三角形式区分,a+bi称为复数的代数表示式,简称代数形式.?当z=r(cosθ+isinθ)≠0时,z的辐角有无穷多个值,这些值相差2π的整数倍.为确定起见,将满足条件0≤θ2π的辐角值,称为,记作argz,即0≤argz2π.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它的模与辐角的主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.非零复数的辐角不唯一,辐角的主值唯一如果z=0,那么与它对应的向量缩成一个点(零向量),它的方向是任意的,所以复数0的辐角也是任意的.三角表示式辐角的主值

名师点睛1.复数的三角形式的特征:(1)模r≥0.(2)括号内需满足:前余弦,后正弦,角相同.(3)cosθ与isinθ之间用加号连结.简单地说,复数三角形式的结构特征是:模非负,角相同,余弦前,加号连.不符合条件的都不是三角形式.2.在复数的三角形式中,幅角θ的值可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以是主值,也可以是主值加2kπ或k·360°(k∈Z).但为了简单起见,复数的代数形式化为三角形式时,一般将θ写成主值.

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)×××××

2.若角θ的顶点在坐标原点,始边在x轴非负半轴上,已知终边上一点P(x,y),如何表示角θ的三角函数?3.终边相同的角有什么关系?提示终边相同的角相差2π的整数倍.

知识点二复数三角形式的乘法法则与几何意义1.复数乘法运算的三角表示r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].两个复数相乘,积的模等于它们的模的,积的辐角等于它们辐角的.?简单地说,两个复数三角形式相乘的法则为:模数相乘,辐角相加.积和

2.复数乘法运算的几何意义θ20,逆时针;θ20,顺时针

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(2)若argz1=α,argz2=β,则arg(z1·z2)=α+β.()2.把复数a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为()A.a-bi B.-a+biC.b-ai D.-b+ai√×C解析按顺时针旋转90°,即将复数与cos(-90°)+isin(-90°)相乘,∴所求复数为(a+bi)·(-i)=b-ai.

3.复数z=(sin25°+icos25°)3的三角形式是()A.cos195°+isin195° B.sin75°+icos75°C.cos15°+isin15° D.cos75°+isin75°A解析z=(sin25°+icos25°)3=(cos65°+isin65°)3=cos195°+isin195°.

知识点三复数三角形式的除法法则与几何意义1.复数除法运算的三角表示两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的.?简单地说,两个复数三角形式相除的法则为:模数相除,辐角相减.差

2.复数除法运算的几何意义θ20,顺时针;θ20,逆时针

过关自诊判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)√×

重难探究?能力素养全提升

探究点一复数的三角形式【例1】将下列复数表示成三角形式(辐角取主值).(1)5i;(2)8;(3)-3-3i;(4)-1+i.(2)因为r=8,cosθ=1,sinθ=0,所以θ=0,所以8=8(cos0+isin0).

规律方法复数的代数形式z=a+bi化为复数三角形式的一般步骤是:(3)写出复数的三角形式.

变式训练1将下列复数中代数形式的表示成三角形式(辐角取主值),三角形式的表示成代数形式.解(1)因为r=1,cosθ=-1,sinθ=0,所以θ=π,于是-1=cosπ+isinπ.

探究点二复数三角形式的乘法运算【例2】计算下列各式:(3)(cos36°+isin36°)5.解(1)原式=21(cosπ+isinπ)=-21.(3)原式=cos(5×36°)+i