高三数学 第一轮复习 05：幂和指数、指数方程.doc

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高中数学第一轮复习05幂和指数、指数方程

·知识梳理·

模块01：幂与指数

一、指数幂的拓展

1、幂的有关概念：

的次方叫做的次幂，记作。称为幂的底数（简称为底），为幂的指数。对任意给定的实数及正整数都有，；；成立。

正整数指数幂：

零指数幂：

负整数指数幂：

分数指数幂：

有理指数幂：

2、整数指数幂：对任意给定的非零实数及整数，；；成立。

3、根式的概念：一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根。

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，这时，的次方根是唯一存在的，且用表示。

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.这时，正数的正的次方根用，而负的次方根用，它们可以合并简写成.而负数没有偶次方根。

0的任何次方根都是0，记作。

4、式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数。

当为奇数时，；

当为偶数时，。

[知识补充]

1、一般地说，设是大于1的整数，当时，称满足的唯一正数为的次幂，记作。这样在条件时，就是的次方根.（为大于1的整数）。

2、当且是正奇数时，存在唯一的实数，使得，此时能被定义。当且是正偶数时，因为不存在实数，使得，故不能定义。当时，也可定义。

3、有理指数幂：，称之为底为的有理数指数幂（，分数）在，为正整数及为整数的条件下，，。一般地，在为正整数，且时，对所有使得有意义的实数，都可定义。

4、定理：当时，恒成立。此定理有时也称为幂的基本不等式。

模块02：指数方程

1、基本概念：在指数中含有未知数的方程叫指数方程。

2、解指数方程的基本思想：化同底或换元.

3、方程类型及解法：

（1）求解形如，或(学完对数之后)的方程；

方法：利用指数的性质，以及一些式子变形的方法，把它们转化为解一个可用初等方法来解的代数方程。

具体如下：=1\*GB3①若，则；

=2\*GB3②，转化为代数方程求解；

=3\*GB3③，转化为代数方程求解(学完对数之后)；

（2）求解形如的方程；

方法：通过换元，令把它转化为一个可用初等方法解决的简单代数方程，然后再解一个最简单的指数方程。

·典例精讲·

模块01：幂与指数

例1-1

（1）的次方根是（）

A． B． C． D．

【答案】：C

【解析】：开偶次方根有正负两个根。

（2）将写为根式，则正确的是()

A． B． C． D．

【答案】：D

【解析】：将写为根式，结果应是2次根下5的立方，所以故选D。

（3）将根式化为分数指数幂是（）

A． B． C． D．

【答案】：A

例1-2求下列各式中的值：

（1）（2）（3）（4）

【答案】：（1）2（2）（3）4或-2（4）

例1-3求下列各式的值

①；②③

【答案】：①；②；③

【解析】：①②③

例1-4

（1）下列等式中不成立的是（）

A． B．

C． D．

【答案】：C

【解析】：对于选项A,,故A正确；对于选项B,,故B正确；

对于选项C,,故C错误；

对于选项D,,故D正确；故选：C。

（2）的值是（）

A．0 B．m—n C．2(m—n) D．0或2(m—n)

【答案】：D

【解析】：.故选：D。

（3）代数式恒等于（）

A． B． C． D．

【答案】：C

【解析】：解：∵，∴-2x≥0，∴x≤0，∴=．故选C。

例1-5

（1）化简的结果等于（）

A． B． C． D．

【答案】：C

【解析】：因为，而，所以。

（2）化简的结果为（）

A．6 B． C． D．9

【答案】：C

【解析】：。故选：C。

例1-6求下列各式的值：

（1）；（2）.

【答案】：（1）（2）

【解析】：（1）原式

；

原式.

例1-7已知则的值为()

A．2 B． C． D．

【答案】：B

【解析】：＝＝＝＝。答案：B。

例1-8解下列方程．

（1）；（2）；（3）.

【答案】：（1）（2）（3）

【解析】：（1）解得；（2），即，解得；

（3），即，解得

例1-9设，求的值。

【答案】：1。

【解析】：∵∴则同理可知∴∴。

例1-10已知，求下列各式的值：

（1）.（2）.（3）.

【答案】：（1）7；（2）47；（3）3.

【解析】：（1）将两边平方，得，即。

（2）将上式两边平方，可得，∴。

（3）∵，

而，∴原式。

模块02：