人教版初中数学同步讲义八年级下册第09讲 专题4 平行四边形（特殊的平行四边形）中的最值问题（解析版）.pdfVIP

第09讲专题4平行（特殊）四边形中的最值问题

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，

点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）

A．2B．C．3D．

【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，

理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝＝10，

∴AC•BC＝，

∴＝，

∴CM＝，

∵点D、E分别为CN，MN的中点，

∴DE＝CM＝＝，

即DE的最小值是，

故选：B．

2．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AD＝2AB＝8，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，

HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为．

【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，过点A作AN⊥BC于点N，

∴AM＝DM＝AD＝×8＝4，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8，

∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝AD＝×8＝4，

∴AM＝DM＝DC＝4，

∴△CDM是等边三角形，

∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，

∴∠MAC＝∠MCA＝∠DMC＝×60°＝30°，

∴∠ACD＝∠MCA+∠MCD＝30°+60°＝90°，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，

在Rt△ACN中，∠ACN＝∠BCD﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，

∴AN＝AC＝×4＝2，

∵AE＝EH，GF＝FH，

∴EF是△AHG的中位线，

∴EF＝AG，

∵AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，

∴AG的最大值为4，最小值为2，

∴EF的最大值为2，最小值为，

∴EF的最大值与最小值的差为2﹣＝，

故答案为：．

3．如图，在▱ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重

合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为2﹣4．

【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，连接AC，

∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，

则AH＝AB•sin∠ABC＝4sin60°＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝4cos60°＝2，

∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，

在Rt△ACH中，AC＝＝＝2，

∵点B与点Q关于直线AP对称，

∴AQ＝AB＝4，

∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，

∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝2﹣4，

故答案为：2﹣4．

4．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形

PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为6．

【解答】解：如图所示：

∵四边形PAQC是平行四边形，

∴AO＝CO，OP＝OQ，

∵PQ最短也就是PO最短，

过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，

∵∠BAC＝30°，

∴OE＝OA，

∵AB＝AC＝12，

∵AO＝AC＝×12＝6，

∴OE＝3，

∴PQ的最小值＝2OE＝6，

故答案为：6．

5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分

别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（）

A．1