人教版初中数学同步讲义八年级下册第10讲 专题5 正方形中的三大模型（解析版）.pdfVIP

第10讲专题5正方形中的三大模型

类型一：正方形中的十字架模型

类型二：正方形中的半角（45°）模型

类型三：正方形中手拉手模型

类型一：正方形中的十字架模型

1．如图，在正方形ABCD中，点E是DC边的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC边于点F，G，垂足

为点H．若AB＝4，则GH的长为．

【解答】解：过点B作BN∥GF交AD于点N，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，

∴AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，∠BAN＝∠D＝90°，

∴四边形BGFN是平行四边形，

∴BN＝GF，

∵AE⊥FG，BN∥GF，

∴BN⊥AE，

∴∠BNA+∠EAD＝90°，

∵∠AED+∠EAD＝90°，

∴∠BNA＝∠AED，

在△AED和△BNA中，

，

∴△AED≌△BNA（AAS），

∴AE＝BN＝FG，

∵点E是DC边的中点，

∴DE＝CD＝2，

∴AE＝＝＝2，

∴FG＝2，

∵H是AE的中点，

∴AH＝AE＝，

∵∠AHF＝∠D＝90°，∠FAH＝∠EAD，

∴△AFH∽△AED，

∴＝，即＝，

∴FH＝，

∴GH＝FG﹣FH＝2﹣＝，

故答案为：．

2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是

DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（）

A．αB．45°﹣αC．D．3α﹣45°

【解答】解：连接DQ，如图：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，

∵AF＝DE，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE＝α，

∵点P，Q分别是DF，CE的中点，

∴PD＝DF＝DQ＝CE，

∴∠DPQ＝∠DQP，∠CDQ＝α，

∴∠PDQ＝90°﹣2α，∠DQE＝2α，

∴∠PQD＝＝45°+α，

∴∠PQE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，

故选：B．

3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE交DF于点G，连接AG．下列结论：①

CE＝DF；CE⊥DF；∠EAG＝30°；∠AGE＝∠CDF．其中正确的是（）

②③④

A．①②B．①③C．①②④D．①②③

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，

∵E，F分别是AB，BC的中点，

∴BE＝AB，CF＝BC，

∴BE＝CF，

在△CBE与△DCF中，

，

∴△CBE≌△DCF（SAS），

∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；

∵∠BCE+∠ECD＝90°，

∴∠ECD+∠CDF＝90°，

∴∠CGD＝90°，

∴CE⊥DF，故②正确；

∵CF＝BC＝CD，

∴∠CDF≠30°，

∴∠ADG≠60°，

∵AD＝AG，

∴△ADG不是等边三角形，

∴∠EAG≠30°，故③错误；

∵CE⊥DF，

∴∠EGD＝90°，

延长CE交DA的延长线于H，如图，

∵点E是AB的中点，

∴AE＝BE，

∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，

∴△AEH≌△BEC（AAS），

∴BC＝AH＝AD，

∵AG是斜边的中线，

∴AG＝DH＝AD，

∴∠ADG＝∠AGD，

∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，

∴∠AGE＝∠CDF．故④正确；

故选：C．

4．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的动点，且AE＝DF，连