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第五节函数的微分
前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是
微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念——微分。
一、微分的定义
例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到，问此薄片的面积改变了多少？
正方形面积
边长由变到
的线性函数，且为的主要部分，
的高阶无穷小，当很小时可忽略.
再例如,设函数在点处的改变量为，求函数的改变量
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
当很小时，(2)是的高阶无穷小
定义设函数在某区间内有定义，及
在这区间内，如果函数的增量
可表示为
其中是不依赖于的常数，那么称函数
在点是可微的，而叫做函数在点
相应于自变量增量的微分，记作即
微分叫做函数增量的线性主部.(微分的实质)
可微的条件：
函数在点可微的充要条件是函数
在点处可导，且
●函数在任意点的微分，称为函数的
微分，记作或即
例1求函数在和处的微分.
例2求函数在时的微分.
●通常把自变量的增量称为自变量的微分，
记作即
即函数的微分与自变量的微分之商等于该
函数的导数.因此，导数也叫“微商”.
二、微分的几何意义
几何意义:(如图)
M
T
）
P
N
当是曲线的纵坐标增量时，就是切线纵坐标对应的增量.当很小时，在点的附近，切线段可近似代替曲线段
Q
三、基本初等函数的微分公式与微分运算
法则
1.基本初等函数的微分公式
函数的微分表达式：
2.函数和、差、积、商的微分法则
3.复合函数的微分法则
微分形式的不变性
设及都可导，则复合函数
的微分为
由于所以复合函数的
微分公式也可以写成
或
结论：无论是自变量还是中间变量，函数
的微分形式总是
例3
求
例4
求
例5
求
例6在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立.
四、微分在近似计算中的应用
1.函数的近似计算
(1)求在点附近的近似值；
(很小时)
(2)求在点附近的近似值；
令
2.常用近似公式(很小时)
八、小结
★
微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.
★
导数与微分的联系:
★
导数与微分的区别:
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