北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 三角函数 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 .ppt

;基础落实·必备知识全过关;课程标准;;知识点一任意角的正弦函数和余弦函数

1.单位圆:以单位长度为半径的圆称为单位圆.;2.单位圆中任意角的正弦函数和余弦函数的定义:给定任意角α,作单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值,记作v=sinα;把点P的横坐标u定义为角α的余弦值,记作u=cosα.

正弦v=sinα、余弦u=cosα分别是以角α的大小为自变量,以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数,其定义域为全体实数,其值域为实数的子集合.;名师点睛

对正弦函数和余弦函数定义的理解

(1)正弦函数和余弦函数都是函数,它们满足函数的定义,可以看成是从角(弧度制)的集合到一个比值的集合的对应.

(2)正弦函数和余弦函数是用单位圆来定义的,所以正弦函数和余弦函数的定义域是实数集R.

(3)正弦函数和余弦函数是一个比值,也是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置决定,即正弦函数值和余弦函数值的大小只与角有关.;过关自诊

1.[人教B版教材例题]已知角α的终边经过点P(2,-3),求sinα,cosα和tanα.;2.[人教B版教材例题]求的正弦、余弦和正切.;知识点二正弦函数、余弦函数的基本性质

根据正弦函数v=sinx和余弦函数u=cosx的定义,不难看出它们具有以下基本性质:

(1)定义域都是;?

(2)最大值都是,最小值都是,值域都是;?

(3)它们都是周期函数,其周期都是,最小正周期都是;?

(4)正弦函数v=sinx在区间上单调递增,在区间

上单调递减;余弦函数u=cosx在区间______________上单调递增,在区间上单调递减.?;名师点睛

正弦函数值和余弦函数值都具有周期性,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次,这说明了角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系,即如果给定一个角,它的正弦函数值和余弦函数值只要存在就是唯一的;反过来,如果给定一个正弦函数值或余弦函数值,却有无穷多个角与之对应.;过关自诊

1.判断正误.(正确???画“√”,错误的画“×”)

(1)对于任意角α,sinα,cosα都有意义.()

(2)余弦函数y=cosx在区间[0,π]上是减函数.()

(3)存在实数x,使得sinx=-.()

2.能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调递增的?;知识点三正弦函数值和余弦函数值的符号;名师点睛;过关自诊

1.[人教B版教材例题]确定下列各值的符号.;2.设sinθ0且tanθ0,确定θ是第几象限角.;;探究点一根据正弦函数、余弦函数的定义求值;规律方法利用正弦函数和余弦函数的定义求一个角的正弦函数值和余弦函数值有以下几种情况:

(1)若已知角,只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出正弦函数值和余弦函数值;

(2)若已知角α终边上一点P(x,y)是单位圆上的点,则sinα=y,cosα=x;

(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.;变式训练1(1)在单位圆中,若α=-π,则sinα=,cosα=.?;探究点二正弦函数、余弦函数值的符号判断及应用;规律方法正弦函数值、余弦函数值的符号判断方法

一个角的正弦函数值、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限,可用口诀简记为“一全正,二正弦,三全负,四余弦”,即第一象限角的正弦函数值、余弦函数值全为正值,第二象限角的正弦函数值为正值,第三象限角的正弦函数值、余弦函数值全为负值,第四象限角的余弦函数值为正值.;变式训练2若sinα0,cosα0,则角α的终边所在象限是()

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限;探究点三正弦函数、余弦函数的定义域问题;规律方法1.求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解不等式或不等式组求得,对于三角函数的定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限制.

2.要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.;探究点四正弦函数、余弦函数的最值、值域问题;(2)已知函数y=asinx+1的最大值为3,求它的最小值.;规律方法1.求正弦函数、余弦函数的值域或最值时应注意定义域,解题时可借助图象结合函数的单调性进行分析.

2.对于含有参数的函数求值域或最值,应注意对参数分类讨论.