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人教A版数学选择性必修第三册;课标定位素养阐释;自主预习新知导学;排列的概念
1.为提高员工的身体素质,某公司举行职工运动会,其中编务部(A)、营销部(B)、行政部(C)参加篮球比赛,试按名次顺序列举所有可能的结果.
提示:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.
2.(1)排列的概念:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按
照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)根据排列的定义,两个排列相同的充要条件是:两个排列的元素完全
相同,且元素的排列顺序也相同.;3.下列问题中,是排列问题的是()
A.由1,2,3,4这4个数字可组成多少个无重复数字的四位数
B.从60人中选11人组成足球队,共有多少种组队方法
C.从100人中选2人抽样调查,共有多少种选法
D.从1,2,3,4,5中选2个数,共能组成多少个不同的集合
解析:选项A中组成的四位数与数字的排列顺序有关,选项B,C,D只需取出元素即可,与元素的排列顺序无关.
答案:A;【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列.(×)
(2)在一个排列中,若交换两个元素的位置,则该排列不发生变化.(×)
(3)同一个排列中,同一个元素不能重复出现.(√);合作探究释疑解惑;;判断一个具体问题是不是排列问题,就看取出元素后排列是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.;【变式训练1】判断下列问题是不是排列问题.
(1)从2,3,5,7,9中任取两数分别作为对数的底数与真数,可得多少个不同的对数?
(2)空间中有10个点,任意3个点不共线,任意4个点不共面,则这10个点共可组成多少个不同的四面体?
(3)某部门有10名优秀员工,5名实习生,该部门领导决定选5名优秀员工对5名实习生实行一帮一活动,共有多少种不同的安排方式?
(4)从10名三好学生中选出5名和5名普通学生组成一个学习小组,共有多少种不同的安排方式?;解:(1)对数的底数与真数不同,所得的结果不同,是排列问题.
(2)四面体与4个顶点的顺序无关,不是排列问题.
(3)选出的5???优秀员工与5名实习生进行一帮一活动与顺序有关,是排列问题.
(4)选出的5名三好学生与5名普通学生组成一个学习小组与顺序无关,不是排列问题.;;(2)解:先安排A有4种坐法,再安排B有3种坐法,接着安排C有2种坐法,最后安排D有1种坐法,由分步乘法计数原理,有4×3×2×1=24种不同的坐法.
画出树形图,如图所示.;在本例(2)中,若在条件中再增加“A不坐两头”,则结论如何?
解:画出树形图,如图所示.
故所有可能的坐法为BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB,共12种.;利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围:“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式.
(2)策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,以再安排哪个元素为分类标准进行分类,接着安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,最后按树形图写出排列.;【变式训练2】(1)由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1,且恰有三个相同数字的四位数有()
A.9个 B.12个 C.15个 D.18个;(1)解析:要求首位数字是1,且恰有三个相同的数字,用树形图表示为
由此可知共有12个.
答案:B;(2)解:先确定起点,有4种方法,再确定终点,有3种方法.
由分步乘法计数原理,知共需要4×3=12种不同的机票.列举如下:;;解析:(1)用数字1,2,3,4,6组成无重复数字的五位偶数,可看作5个元素的排列问题,先排个位数字,有3种方法,再排其他各位,分别有4,3,2,1种不同的方法,由分步乘法计数原理,可知一共能组成3×4×3×2×1=72个无重复数字的五位偶数,故选C.
(2)从8名学生干部中选出3名同学分别参加三个不同的夏令营活动,可看作从8个元素中取出3个元素的排列问题,由分步乘法计数原理可知一共有8×7×6=336种不同的方案.
答案:(1)C(2)336;利用分步乘法计数原理解决排列个数问题
排列问题,一般都与顺序有关,因此必须分步完成,所以对于简单的排列问题,可利用分步乘法计数原理解决计数问题.求解时,注意确定正确的步骤,还要注意有无特别限制条件.;【变式训练3】某车展期间,某调研机构准备从5人中
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