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成考（专升本）高数（一）定义、性质

目录

CONTENTS

01

函数与极限

02

导数与微分

03

微分中值定理与导数的应用

01

函数与极限

函数是两个变量之间的依赖关系，其中一个变量（自变量）的每一个值都对应另一个变量（因变量）的唯一值。

函数可以通过数学表达式、图表或列表来表示。

函数的表示方法包括解析式、表格法和图象法。

函数的定义

函数的单调性：函数在其定义域内随着自变量的增加而单调增加或减少。

函数的奇偶性：函数的值关于原点对称（奇函数）或关于y轴对称（偶函数）。

函数的周期性：函数的值在经过固定间隔后重复出现。

函数的性质

初等函数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

复合函数：由两个或两个以上的函数复合而成的函数。

分段函数：在不同的自变量区间内，函数的表达式不相同的函数。

函数的分类

函数的和、差、积、商：根据相应的运算法则进行函数间的四则运算。

函数的反函数：如果原函数将x映射到y，则反函数将y映射回x。

函数的复合：将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

函数的运算

函数的基本概念

01

极限描述了当自变量趋近某一值时，函数值趋近某一固定值的行为。

极限可以用ε-

δ定义来严格描述。

极限存在时，函数在该点的左右极限必须相等。

极限的定义

02

极限的局部保号性：如果极限存在，则函数值在趋近极限点附近保持符号不变。

极限的局部有界性：如果极限存在，则函数值在趋近极限点附近是有界的。

极限的夹逼定理：如果两个函数在某点的极限相同，则夹在中间的函数在该点的极限也相同。

极限的性质

03

直接代入法：直接将自变量的值代入函数表达式。

因式分解法：通过因式分解消去分母中的零因子。

分段函数法：对分段函数的各段分别计算极限。

极限的计算方法

04

无穷小：当自变量趋近某一值时，函数值趋近于0。

无穷大：当自变量趋近某一值时，函数值的绝对值无限增大。

无穷小与无穷大的关系：无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大。

无穷小与无穷大的概念

极限的概念

03

两个函数的商的极限等于各函数极限的商，前提是分母的极限不为0。

常数除以函数，极限等于常数除以函数的极限。

如果分母的极限为0，则商的极限不存在。

极限的除法法则

04

如果内层函数的极限存在且等于a，外层函数在a连续，则复合函数的极限等于外层函数在a的值。

复合函数极限的存在性依赖于内层函数和外层函数的连续性和极限的存在性。

如果内层函数的极限不存在，复合函数的极限也不一定存在。

极限的复合函数法则

01

两个函数代数和的极限等于各函数极限的和。

如果一个函数的极限存在，则常数与其相加后极限不变。

如果两个函数的极限都不存在，则它们的和的极限也不一定存在。

极限的加法法则

02

两个函数代数积的极限等于各函数极限的乘积。

常数与函数相乘，极限等于常数与函数极限的乘积。

如果其中一个函数的极限为0，另一个函数的极限不存在，则乘积的极限不存在。

极限的乘法法则

极限的运算法则

02

导数与微分

导数的性质

导数的物理意义

导数的几何意义

导数的定义

导数具有线性性质

导数满足乘积和商的法则

导数的链式法则用于求复合函数的导数

导数表示物体运动的速度

导数的导数（即二阶导数）表示加速度

导数可以描述物理量的变化率

导数表示曲线在某一点处的切线斜率

导数可以描述曲线在该点的凹凸性质

导数为零的点可能是曲线的极值点

导数描述的是函数在某一点处的变化率

导数是通过极限的方法来定义的

导数是微积分学中的基本概念之一

导数的定义

常数函数的导数为零

幂函数的导数遵循幂次下降规则

指数函数和对数函数的导数有其特定公式

加法法则：两个函数和的导数等于各函数导数的和

减法法则：两个函数差的导数等于各函数导数的差

乘法法则：两个函数积的导数等于各函数导数的乘积加各函数自身乘以对方导数

除法法则：两个函数商的导数涉及分子导数与分母导数的乘积及分母的平方

基本导数公式

导数的四则运算法则

复合函数导数遵循链式法则

链式法则适用于多层复合函数的导数计算

链式法则使得复杂函数的导数计算变得可能

高阶导数是函数导数的导数

高阶导数可以描述函数的加速度等物理量

高阶导数的计算重复使用导数的基本法则

复合函数的导数

高阶导数

导数的计算

微分的计算

微分的计算基于导数和自变量的微分

微分运算遵循与导数运算相似的法则

微分在求解近似值时非常有用

微分的应用

微分用于求解函数的极值问题

微分在近似计算中简化了复杂的运算

微分在物理和工程问题中描述变量的微小变化

微分与导数的关系

微分是导数与自变量微分量的乘积

导数是微分的商

微分和导数共同构成了微分学的基础

微分的定义

微分是函数增量与自变量增量比值的线性主部

微分表示函数增量的近似值

微分在几何上表示切线段的长度

微分

03

微