专题极化恒等式、奔驰定理、等高线及三角形四心的应用 解析版公开课教案教学设计课件资料.docx

专题7：极化恒等式、奔驰定理、等高线及三角形四心在平面向量中的应用（5知识点+5题型）

极化恒等式、奔驰定理、等高线及三角形四心在平面向量中的应用常考题型

极化恒等式、奔驰定理、等高线及三角形四心在平面向量中的应用

常考题型

等和(高)线定理

三角形四心与奔驰定理的关系及证明

三角形四心及向量表示

奔驰定理

极化恒等式及其推论

题型一：极化恒等式的应用

题型二：三角形四心在向量中的应用

题型三：奔驰定理在向量中的应用

题型四：三角形四心与奔驰定理的应用

题型五：等和(高)线定理在平面向量的应用

知识点一：极化恒等式及其推论

（1）极化恒等式：

①公式推导：

②几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．

（2）平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]．

（3）三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2．

①推导过程：由.

②记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．

（4）极化恒等式的适用范围：

①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；

②不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题.

知识点二：奔驰定理

1、奔驰定理：是内的一点，且，则

2、证明过程：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，求证：.

延长与边相交于点，

则，

，

∵，

∴，

∴，

所以.

（3）奔驰定理推论：，则

①

②，，.

知识点三：三角形四心及向量表示

（1）三角形重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心分中线长度的比为2：1．

②重心的向量表示：如图所示在中，为重心

证明：，所以

③重心坐标公式，设，，，则△ABC的重心坐标为．

（2）三角形垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心．

②垂心的向量表示：如图所示在中，为重心

证明：因为，所以，所以，

同理可得，，所以为重心

（3）三角形内心的概念及向量表示

①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心．

②内心的向量表示：如图所示在中，为重心且

（4）三角形外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心．

②外心的向量表示：若为内一点，则为的外心．

知识点四：三角形四心与奔驰定理的关系及证明

①是的重心：．

证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得

②是的内心：

证明：，，（为内切圆的半径），所以

，再由奔驰定理可得

③是的外心：．

证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得

④是的垂心：

证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得

知识点五：等和(高)线定理

(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立．

(2)平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和(高)线．

①当等和线恰为直线AB时，k＝1；

②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；

③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；

④当等和线过O点时，k＝0；

⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；

⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．

题型一：极化恒等式的应用

解题思路：（1）极化恒等式：

（2）平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则