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成考（专升本）高数（一）函数与极限
01函数的基本概念极限的求解方法函数的连续性0203目
录CONTENTS
01函数的基本概念
01函数的数学表达02函数的图像表示03函数的性质04函数的分类函数表示为fD?-??R，其中D是定义域，R是值域
函数关系可以是线性的，如f(x)?=?ax?+?b
函数也可以是非线性的，如f(x)?=?ax^2?+?bx?+?c函数可以按形式分类，如多项式函数，指数函数等
按照性质分类，如连续函数，可导函数等
按照应用分类，如线性函数在经济学中的应用函数可以有连续性，可导性等性质
奇偶性描述函数关于y轴或原点的对称性
单调性描述函数随x增大而增大或减小的趋势函数图像是所有满足f(x)的点(x,?f(x))在平面上的集合
图像可以是直线，抛物线，双曲线等
图像可以帮助我们直观理解函数的性质函数的定义
加法：f(x)?+?g(x)
减法：f(x)?-?g(x)
乘法：f(x)?*?g(x)
除法：f(x)?/?g(x)，g(x)?≠?0函数的四则运算复合函数f(g(x))，如f(x)?=?x^2，g(x)?=?sin(x)?-??f(g(x))?=?(sin(x))^2
复合函数的域是内函数和外函数域的交集
需要注意复合函数的定义域复合函数反函数f^(-?1)(x)满足f(f^(-?1)(x))?=?x
不是所有函数都有反函数，只有双射函数才有
反函数的图像是原函数图像关于y=x对称反函数平移变换：f(x)?-??f(x-?h)?+?k
缩放变换：f(x)?-??af(x)，a??0为垂直缩放，a??0为垂直翻折
反射变换：f(x)?-??f(-?x)或f(x)?-??-?f(x)函数的变数的运算
极限的概念极限描述函数在某一点的邻域内的行为趋势
极限可以是有限值，也可以是无穷大
极限的精确定义涉及ε-?δ语言极限的性质极限具有唯一性，如果存在极限，则极限值唯一
极限具有局部保号性，即极限的符号与函数值的符号相同
极限具有局部有界性，即极限存在的点附近函数值有界极限的运算法则和差极限：lim(f(x)?±?g(x))?=?limf(x)?±?limg(x)
积极限：lim(f(x)?*?g(x))?=?limf(x)?*?limg(x)
商极限：lim(f(x)?/?g(x))?=?limf(x)?/?limg(x)，当limg(x)?≠?0无穷小量与无穷大量无穷小量：当x趋向于某点或无穷大时，函数值趋向于0
无穷大量：当x趋向于某点或无穷大时，函数值趋向于正无穷或负无穷
无穷小量与无穷大量的比较可以确定函数的渐近行数的极限
02极限的求解方法
1直接代入法3无穷小量的性质应用2极限的运算法则应用4无穷大量的处理方法将变量的值直接代入函数中计算极限
适用于函数表达式在代入后直接可计算的情况
需要注意函数在代入点的连续性应用无穷小量的性质简化表达式
如无穷小量的和、差、积仍为无穷小量
需要识别并利用无穷小量的性质利用极限的基本运算法则进行计算
包括和、差、积、商的极限法则
需要掌握各法则的使用条件和限制对无穷大量进行适当处理以求解极限
包括无穷大量与有限值的和、积等运算
需要理解无穷大量的概念和性质直接求解法
等价无穷小替换使用等价无穷小替换复杂表达式
等价无穷小量可以在极限过程中替换原函数
需要掌握常见的等价无穷小量分段函数的极限分别求解分段函数在各分段区间的极限
注意分段点处的左右极限是否相等
需要处理分段点可能存在的不同极限值泰勒展开的应用复合函数的极限利用复合函数的极限定理进行计算
内函数和外函数极限的连续性
需要理解复合函数极限的计算顺序应用泰勒展开将函数展开为多项式
用多项式近似函数求解极限
需要掌握泰勒展开的公式和阶数选取变换求解法穷小量比的极限无穷大量比的极限无穷小量的乘积极限无穷小量与无穷大量的商的极限求解无穷小量之间的比例极限
如洛必达法则的应用
需要识别无穷小量的比的形式和条件求解无穷大量之间的比例极限
需要转化为可计算的形式
注意无穷大量比的特性可能导致不同的极限结果求解无穷小量相乘的极限
分析各无穷小量乘积的影响
需要考虑乘积后是否仍为无穷小量求解无穷小量与无穷大量的商的极限
分析无穷小量和无穷大量的变化速率
需要理解无穷小量与无穷大量商的特性特殊极限求解
03函数的连续性
如果函数在某点的极限值等于该点的函数值，则称函数在该点连续
函数在某点连续意味着该点处没有断点
函数在某点连续是分析函数性质的基础函数在区间上连续指的是在区间内的每一点都连续
区间连续性保证了函数在该区间内没有间断
区间连续性是研究区间上函数性质的关键函数在某点连续当且仅当该点的极限存在且等于函数值
极限的存在是连续性的必要条件
连续性是极限概
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