《用空间向量研究距离问题》同步学案(教师版).docx

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《用空间向量研究距离问题》同步学案

情境导入

1.空间中的距离包括哪些?

提示:点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离.

2.求解空间距离常用的方法有哪些?

提示:定义法,转化法,等体积法和向量法.

自主学习

自学导引

1.点到直线的距离

如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设AP=a,则向量AP在直线l

在RtΔAPQ中,由勾股定理,得PQ=

2.点到平面的距离

如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此PQ=_________=________=

答案

1.a

2.AP?n|n

预习测评

1.已知点A111,B-3

A.4

B.2

C.4

D.3

2.已知平面α的一个法向量n=-2-21,点A(-1,3,0)在α内,则点P

A.10

B.3

C.8

D.10

3.已知平面α//平面β,直线l?α,α与β之间的距离为d,有下列四个命题:

①β内有且仅有一条直线与l的距离为d;

②β内所有的直线与l的距离都等于d;

③β内有无数条直线与l的距离为d;

④β内所有直线与α的距离都等于d.

其中真命题是()

A.①

B.②

C.①④

D.③④

4.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()

A.6

B.6

C.3

D.3

答案:

1.A

解析:AB=1+3

2.D

解析:AP=-1-24,点P到

3.D

解析:在直线l上任取一点O,过O作OA?β于A,在平面β内,与l不平行的所有直线与l的距离都是d,否则不一定是d,所以①②错误.

4.D

解析:以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1

可以求得平面ABC的一个法向量为n=111,则点P到平面

新知探究

探究点1点到直线的距离、两条平行直线之间的距离

知识详解

1.点到直线的距离

如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点

设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量

在RtΔAPQ中,由勾股定理,得PQ=|

2.两条平行直线之间的距离

求两条平行直线之间的距离的关键是在其中的一条直线上取一定点,则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离.

典例探究

例1如图,在空间直角坐标系中,有长方体ABCDABCD,AB=1,BC=2,AA=3,则点B到直线AC的距离为______.

解析:因为AB=1,BC=2,AA=3,

所以A0

所以直线AC的方向向量AC=

又BC=020,所以BC在

所以点B到直线AC的距离d=

答案:235

变式训练1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C

答案:174

解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,

则A2

所以EF=

所以|

|

FA

FA在EF上的投影向量的长度为|FA

所以点A到EF的距离d=

探究点2点到平面、直线到平面、两个平行平面的距离

知识详解

1.点到平面的距离

如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此

2.直线到平面的距离

如图,设直线a//平面α,A∈a,B∈α,n是平面α的法向量,过A作AC?α,垂足为C

因为AB?

所以|AB

所以直线a到平面α的距离d=|AC

3.两个平行平面的距离

如图

(1)用公式d=|AB?n||n|

(2)转化为点到平面的距离或直线到平面的距离来求解.

典例探究

例2已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,

解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A2

所以AC=

设平面AD1C

则n?AC

取z=1,则x=y=2,所以n=

所以点B1到平面AD1

答案:8

变式训练2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A

A.1

B.2

C.2

D.3

答案:B

解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则

所以AB=

设n=1yz

则AB

解得y=0,z=1,

所以n=

则OA=

所以点O到平面ABC1D

变式训练3已知正方体ABC