成考（专升本）高数（二）常数项级数的审敛法.pptxVIP

成考（专升本）高数（二）常数项级数的审敛法

交错级数与绝对收敛03目录CONTENTS01常数项级数概述正项级数的审敛法02幂级数与收敛半径04函数项级数与一致收敛05

01常数项级数概述

010203级数是无穷多个数相加的表达式

级数由其通项公式确定

级数的部分和序列用于研究其收敛性级数的基本概念常数项级数的每一项都是常数

常数项级数可以表示为各项的和

常数项级数可以用sigma表示法表示常数项级数的表示方法级数收敛意味着其部分和序列有极限

级数发散意味着其部分和序列没有极限

收敛级数的和等于其极限值级数收敛与发散的初步理解常数项级数定义

级数可以进行加法、减法、乘法和除法运算

四则运算的规则类似于数的运算

运算的合法性取决于级数的收敛性可以通过比较项的大小来判断级数的收敛性

正项级数的比较是常见的方法

比较性质有助于确定级数的类型级数的四则运算级数的比较性质级数的线性组合是多个级数的和或差

线性组合的收敛性取决于组成级数的收敛性

线性组合的系数可以影响级数的收敛性级数的线性组合级数的基本性质

收敛级数的通项极限为零级数收敛的必要条件是其通项极限为零

通项不趋于零的级数必然发散

此条件是判断级数收敛的初步筛选收敛级数通项的极限运算计算通项极限需要使用极限运算法则

极限运算可以确定级数的收敛性

正确的极限计算是判断收敛的关键收敛级数的必要条件应用必要条件用于排除发散级数

应用必要条件可以简化收敛性判断

必要条件是审敛法的基础之一级数收敛的必要条件

02正项级数的审敛法

比较审敛法的局限性比较审敛法要求已知一个收敛或发散的级数作为比较标准，但并非所有级数都有易于比较的标准级数。

当(?a_n?)和(?b_n?)的大小关系不明显时，比较审敛法可能不适用。

对于交错级数或带有复杂系数的级数，比较审敛法可能难以应用。03正项级数比较审敛法的应用实例例如，考虑级数(?\sum?\frac{1}{n^2}?)和(?\sum?\frac{1}{n}?)，由于(?\frac{1}{n^2}??\frac{1}{n}?)且(?\sum?\frac{1}{n}?)发散，可知(?\sum?\frac{1}{n^2}?)收敛。

另一个实例是使用(?\sum?\frac{1}{n^3}?)与(?\sum?\frac{1}{2^n}?)比较，后者收敛，因此前者也收敛。

比较审敛法常用于判断p-?级数的敛散性。02正项级数比较审敛法的基本原理比较审敛法是通过比较给定级数与已知收敛或发散的级数来判断原级数的敛散性。

若存在正常数(?c?)，使得对于所有(?n?)，有(?a_n?\leq?c?\cdot?b_n?)，若(?\sum?b_n?)收敛，则(?\sum?a_n?)也收敛。

若对于所有(?n?)，有(?a_n?\geq?b_n?)，且(?\sum?b_n?)发散，则(?\sum?a_n?)也发散。01比较审敛法

比值审敛法是通过计算(?\lim_{n?\to?\infty}?\frac{a_{n+1}}{a_n}?)的值来判断级数的敛散性。

如果该极限小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判断。正项级数比值审敛法的定义首先计算相邻项的比值的极限。

检查极限值，确定级数的敛散性。

如果极限小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散；如果极限等于1，需要使用其他方法判断。比值审敛法的计算步骤比值审敛法适用于项之间有明显递减趋势的级数。

对于几何级数和某些类型的p-?级数，比值审敛法特别有效。

当级数中的项包含阶乘或幂函数时，比值审敛法往往可以简化计算。比值审敛法的适用范围比值审敛法

正项级数根值审敛法的概念根值审敛法是通过计算(?\lim_{n?\to?\infty}?\sqrt[n]{a_n}?)的值来判断级数的敛散性。

如果该极限小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判断。根值审敛法的操作步骤计算每一项的n次根的极限。

根据极限值判断级数的敛散性。

如果极限小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散；如果极限等于1，需要使用其他方法判断。根值审敛法的实际应用根值审敛法常用于处理含有幂函数项的级数。

对于某些形式复杂的级数，根值审敛法可能比比值审敛法更容易计算。

根值审敛法在处理指数型级数时尤其有用。010203根值审敛法

03交错级数与绝对收敛

交错级数是由正负相间的项组成的级数

其一般形式为：(?\sum_{n=1}^{\infty}?(-?1)^{n-?1}u_n?)，其中(?u_n?)为正数

交错级数的性质包括项的符号交替和每项的绝对值单调递减交错级数的定义与性质莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的常用方法

审敛条件包括：(?\lim_{n?\to?\infty}?u_n?=?0?)且(?u_n