北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 5.2 向量数量积的坐标表示 5.3 利用数量积计算长度与角度.pptVIP

第二章5.2向量数量积的坐标表示5.3利用数量积计算长度与角度

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课程标准1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标表示求数量积、模和夹角.2.掌握向量垂直条件的坐标表示,并能灵活运用.3.会利用数量积计算长度与角度.

基础落实·必备知识全过关

知识点一向量数量积的坐标表示数量积的坐标表示:已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.?名师点睛数量积的坐标形式的推导在平面直角坐标系中,设i,j分别是x轴和y轴方向上的单位向量,则a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i·i+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j·j.因为i·i=j·j=1,i·j=j·i=0,所以a·b=x1x2+y1y2.x1x2+y1y2

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1y2+x2y1.()(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1y2-x2y1=0.()(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件为x1y1-x2y2=0.()2.[苏教版教材例题]已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)·(a-2b).×××解因为a·b=2×3+(-1)×(-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13,所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15.

知识点二向量的模与夹角的坐标表示

2.两向量的夹角公式:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2,特别地,a⊥b?.?x1x2+y1y2=0

名师点睛投影数量的坐标表示

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1y2-x2y1=0.()(2)若A(1,0),B(0,-1),则(3)若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2=0,则向量a与b的夹角为0°.()(4)若向量a=(1,0),b,则|a|=|b|.()×√××

2.[2023浙江余姚]已知a=(1,),b=(cosθ,sinθ),则|a+2b|的取值范围是.?[0,4]

重难探究·能力素养全提升

探究点一数量积的坐标运算角度1.数量积的基础坐标运算【例1】已知向量a=(-1,2),b=(3,2).(1)求a·(a-b);(2)求(a+b)·(2a-b);(3)若c=(2,1),求(a·b)·c,a·(b·c).

解(1)a·(a-b)=a·a-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.(2)因为a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),所以(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.(3)(a·b)·c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).a·(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).

角度2.数量积的坐标运算在几何图形中的应用【例2】在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M,N分别在DC,BC上,且5

规律方法数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.

变式训练1已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则等于()A.-1 B.0 C.1 D.2B

探究点二利用坐标运算解决模的问题【例3】已知向量a=(1,2),b=(3,-1).(1)求|a-2b|;(2)求与a垂直的单位向量;(3)求与b平行的单位向量.

规律方法1.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a·a,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的运算.(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则|a|2=a·a=x2