北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 3.1 向量的数乘运算--3.2 向量的数乘与向量共线的关系.ppt

3.1向量的数乘运算3.2向量的数乘与向量共线的关系第二章

课标要求1.理解向量数乘运算的定义及几何意义.2.掌握向量数乘的运算律,能够用已知向量表示未知向量.3.掌握共线(平行)向量基本定理,会判断或证明两个向量共线.4.了解直线的向量表示,会证明三点共线.

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

基础落实?必备知识全过关

知识点一向量的数乘运算1.向量的数乘的概念实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件:(1)当λ0时,向量λa与向量a的方向相同;当λ0时,向量λa与向量a的方向相反;当λ=0时,λa=0.能使λa=0的情况还有λ∈R,a=0(2)|λa|=|λ||a|.这种运算称为向量的数乘.

2.向量的数乘的几何意义如图,由实数与向量数乘λa的定义可以看出,它的几何意义是:当λ0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;当λ0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍.3.单位向量由向量的数乘定义容易推出,在非零向量a方向上的单位向量是.

名师点睛1.实数与向量可以进行数乘运算,其结果是一个向量,不是实数;但实数与向量不能进行加、减法运算,如λ+a,λ-a是错误的.

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)已知实数λ与向量a,则λ+a与λ-a的和是向量.()(2)对于非零向量a,向量-3a与向量a方向相反.()(3)对于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.()2.实数乘向量与实数乘实数有什么区别?×√√提示前者结果是一个向量,后者结果是一个数.

知识点二数乘运算的运算律1.数乘运算的运算律设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:(1)(λ+μ)a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;(3)λ(a+b)=λa+λb.2.向量的线性运算向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c由向量a,b的线性运算得到,如c=2a+3b,则称向量c可以用向量a,b线性表示.

名师点睛1.(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.2.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)向量的数乘运算不是线性运算.()(2)若x是未知向量,且3x-2(x-a)=0,则x=-2a.()(3)若λb=λa,则定有b=a.()(4)若λa-μa=0,则λ=μ.()2.将[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简式为()A.2a-b B.2b-aC.a-b D.b-a×√××B

A.a+b B.a-bC.2a+3b D.2a-3bC

知识点三共线(平行)向量基本定理此条件不可缺少给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb.名师点睛1.向量共线的条件:当向量b=0时,b与任意向量a共线.当b≠0时,对于任意向量a,如果存在一个实数λ,使a=λb,那么由向量数乘的定义知,a与b共线.反之,已知向量a与b共线,b≠0,且向量a的长度是向量b的长度的λ倍,即|a|=λ|b|,则当a与b同方向时,a=λb;当a与b反方向时,有a=-λb.2.已知A,B,C三点共线,O是平面内任意一点,则有,其中λ+μ=1.3.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0.

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)|λa|=λ|a|.()(2)若a=λb,则a与b共线.()(3)若向量a与b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb.()(4)若a=e1-e2,b=-2e1+2e2,则向量a与b是共线向量.()2.根据共线(平行)向量基本定理,对于非零向量a,b,如何确定实数λ,使得a=λb?×√×√提示(1)确定符号.b与a同向时,λ为正;b与a反向时,λ为负.

3.共线(平行)向量基本定理中为什么规定b≠0?提示当b=0时,显然b与a共线.(1)若a≠0,则不存在实数λ,使a=λb;(2)若a=0,则对任意实数λ,都有a=λb.

知识点四直线的向量表示名师点睛已知A,B是直线l上的两个定点,点O是直线l外的一个定点,若存在唯一的实

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)直线的方向向量不唯一.()√√×

重难探究?能力素养全提升

探究点一数乘向量的定义及几何意义【例