成考（专升本）高数（二）离散型随机变量及其分布律.pptxVIP

成考（专升本）高数（二）离散型随机变量及其分布律

Catalogue目录1.离散型随机变量的基本概念2.离散型随机变量的常见分布3.离散型随机变量的联合分布与条件分布

01离散型随机变量的基本概念

随机变量是定义在样本空间上的实值函数

它将每个样本点映射到一个实数

随机变量的取值是不确定的，具有随机性伯努利随机变量

二项随机变量

几何随机变量

负二项随机变量等用随机变量X及其取值x表示

用概率质量函数（PMF）表示每个取值的概率

用分布律或概率分布表表示取值为有限个或可列无限个

每个取值具有确定的概率

可以用分布律来完全描述随机变量的概念离散型随机变量的特点离散型随机变量的表示方法离散型随机变量的分类离散型随机变量的定义

概率之和为1

每个取值的概率非负

对任意事件A，P(X∈A)为事件A发生的概率离散型随机变量的基本性质01可以进行加、减、乘、除等运算

期望的线性性质

方差的计算公式离散型随机变量的运算规则02期望是随机变量的平均取值

方差是随机变量取值波动程度的度量

两者都是随机变量的数字特征离散型随机变量的期望与方差03矩是描述随机变量分布形状的量

包括原点矩、中心矩等

用来描述随机变量的分布特性离散型随机变量的矩04离散型随机变量的性质

分布函数是描述随机变量取值小于等于某值的概率

记为F(x)=P(X≤x)

是一个单调不减的右连续函数分布函数的定义分布函数的值域在[0,1]之间

分布函数在无穷远处趋向于1

分布函数在负无穷远处趋向于0分布函数的基本性质分布函数可以由概率质量函数导出

概率质量函数可以由分布函数求得

两者都可以完全描述随机变量的概率分布分布函数与概率质量函数的关系通过概率质量函数计算

通过分布律表计算

通过累积概率计算分布函数的计算方法离散型随机变量的分布函数

02离散型随机变量的常见分布

伯努利分布是只有两个可能结果的离散分布

结果通常是“成功”或“失败”，用1和0表示

伯努利随机变量只有两个参数：成功的概率p和失败的概率1-?p伯努利分布的定义期望E(X)?=?p

方差Var(X)?=?p(1-?p)伯努利分布的期望与方差伯努利分布的取值只能是0或1

成功的概率p是固定的

成功和失败是互斥事件，概率和为1伯努利分布的性质抛硬币实验，正面为成功，反面为失败

是或否的问题，如是否下雨

产品质量检测，合格或不合格伯努利分布的应用实例伯努利分布

二项分布是n次独立伯努利试验中成功次数的分布

每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-?p

记录成功次数X，X可以取0到n之间的任意整数二项分布的定义二项分布是离散分布

成功次数的期望是np

成功次数的方差是np(1-?p)二项分布的性质投掷骰子n次，计算出现6点的次数

质量检测中，n个产品中检测出缺陷品的数量

投票选举中，统计得票数二项分布的应用实例期望E(X)?=?np

方差Var(X)?=?np(1-?p)二项分布的期望与方差二项分布

泊松分布是单位时间内发生某事件的次数的分布

事件在任意两个独立的时间间隔内发生的概率相同

参数λ表示单位时间内事件平均发生的次数泊松分布的定义泊松分布的性质泊松分布的应用实例泊松分布的期望与方差泊松分布是离散分布

事件发生次数的期望等于方差

适用于大量独立试验中稀有事件的发生次数计算电话交换台中单位时间内接到的电话数量

统计商店在单位时间内顾客的到达数

罕见疾病的发病人数期望E(X)?=?λ

方差Var(X)?=?λ泊松分布

几何分布的性质几何分布是离散分布

成功前的试验次数的期望是1/p

成功前的试验次数的方差是(1-?p)/p^2几何分布的应用实例抛硬币直到首次出现正面

质量检测中，直到发现第一个缺陷产品

电话销售中，直到首次成功销售几何分布的期望与方差期望E(X)?=?1/p

方差Var(X)?=?(1-?p)/p^2几何分布的定义几何分布是首次成功发生在第k次试验的概率分布

每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-?p

X表示首次成功发生前的试验次数几何分布

03离散型随机变量的联合分布与条件分布

联合分布的基本性质联合分布的总和等于1

联合分布的边缘分布与各随机变量的单独分布一致

联合分布满足随机变量的单调不减性联合分布的概念联合分布是描述两个或两个以上随机变量同时取值的概率分布

对于离散型随机变量，联合分布可以用表格形式表示

联合分布反映了随机变量之间的相依关系联合分布的计算方法通过样本数据计算联合概率

利用条件概率计算联合概率

基于独立性假设简化联合分布的计算联合分布的应用实例抛掷骰子的点数和的联合分布

产品的质量与生产时间的联合分布

股票价格变动的联合分布联合分布的定义与性质

条件分布的定义条件分布是给定一个随机变量的条件下，另一个随机变量取值的概率分布

条件分布描述了在已知一个随机变量信息的情况下，另一个随机变