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成考（专升本）高数（一）极限的定义、性质

极限的性质目录CONTENTS0102极限的定义

01极限的定义

极限的定义极限描述了函数值在自变量趋近某一值时的趋势

若对于任意小的正数ε，都存在正数δ，使得当0|x-?x?|δ时，有|f(x)-?A|ε，则称A为f(x)当x趋向于x?时的极限

极限是一个理论上的概念，用来研究函数在某一点的邻域内的行为01极限的几何意义极限的几何意义是描述曲线在趋近某一点时切线的变化趋势

在几何图形上，极限表示函数图像趋近于某一固定曲线的趋势

当x趋向于x?时，f(x)趋近于A，意味着在x?的去心邻域内，f(x)的值任意接近A02极限的物理解释在物理学中，极限常用来描述物理量在趋近某一状态时的变化趋势

例如，速度的极限可以描述物体在某一时刻的瞬时速度

极限在物理中的应用帮助我们理解瞬态现象和连续变化的过程03极限的数学表达极限的数学表达是利用ε-?δ语言进行严格定义

ε表示允许的误差范围，δ表示自变量的变化范围

数学表达中，极限是通过对ε和δ之间关系的研究来描述函数的行为04极限的基本概念

PART

01PART

02极限存在的充分条件函数在某一点的左右极限相等是该点极限存在的充分条件

如果函数在某一点的邻域内连续，则该点的极限存在

函数在某一点的极限存在，当且仅当该点的左右极限相等极限存在的判定方法使用极限的定义来判定极限的存在

运用已知的极限定理和性质来判定极限的存在

通过分析函数的图形和性质来判定极限的存在极限存在的必要条件函数在某一点的极限存在，其必要条件是该点的左右极限必须存在

如果函数在某一点连续，那么该点的极限存在是该连续性的必要条件

极限存在的必要条件还包括函数在该点的邻域内必须有定义极限不存在的情况当函数在某一点的左右极限不相等时，该点的极限不存在

如果函数在某一点的邻域内振荡，则该点的极限不存在

极限不存在也可能是因为函数在某一点的邻域内没有定义极限的存在条件

无穷大是指函数的绝对值无限增大的变量

无穷大具有性质：与有界量的乘积为无穷大

函数f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小无穷小的定义与性质2请在此处输入详细文本描述，或者复制您的文本粘贴到此处。无穷大的定义与性质无穷小与无穷大互为倒数关系，非零无穷小的倒数为无穷大

无穷小的倒数是无穷大，无穷大的倒数是无穷小

无穷小与无穷大的极限运算需谨慎处理无穷小与无穷大的关系无穷小量的比较通过比较它们的极限速度来进行

如果lim(f(x)/g(x))=0，则称f(x)是比g(x)高阶的无穷小

如果lim(f(x)/g(x))=∞，则称f(x)是比g(x)低阶的无穷小无穷小量的比较无穷小与无穷大的极限

02极限的性质

极限的唯一性极限存在时，极限值是唯一的。

如果两个序列的极限相同，则这两个序列是相等的。

唯一性保证了极限运算的确定性。极限的四则运算法则两个序列的极限存在时，它们的和、差、积、商的极限也存在（除数不为零）。

极限的四则运算符可以直接作用于序列的极限。

这些法则简化了极限的计算过程。极限的复合函数极限定理如果内函数极限存在，外函数连续，则复合函数的极限等于外函数在内函数极限点的值。

该定理适用于连续函数的复合。

它扩展了极限运算到更复杂的函数表达式。极限的反函数极限定理单调且连续函数的反函数在极限存在的条件下，其极限也存在。

反函数的极限值是原函数极限值的反函数。

此定理有助于处理反函数的极限问题。极限的基本性质

极限的加法性质两个序列的极限和等于各序列极限的和。

加法性质适用于任何有限个数的序列。

它是极限运算的基础之一。极限的减法性质两个序列的极限差等于各序列极限的差。

减法性质同样适用于任何有限个数的序列。

减法运算可以用来求序列之间的差值。极限的乘法性质两个序列的极限积等于各序列极限的积。

乘法性质适用于任何有限个数的序列。

它是处理乘积形式的极限问题时的重要工具。极限的除法性质两个序列的极限商（除数不为零）等于各序列极限的商。

除法性质要求除数序列的极限不为零。

它用于解决涉及分式的极限问题。极限的运算性质

01?02?03?数列极限的定义数列极限描述了数列项随着项数增大趋近某一固定值的行为。

定义基于epsilon-?N语言，描述了数列项与极限值之间的接近程度。

数列极限是研究数列性质的重要工具。数列极限的性质数列极限具有唯一性、有界性和保号性。

数列极限的保号性意味着极限值的正负与数列项的正负一致。

这些性质是数列极限理论的基础。数列极限的运算法则数列极限的四则运算法则与函数极限类似。

运算法则适用于有限个数列的极限运算。

它们简化了数列极限的计算。数列极限的判定方法数列极限的判定方法包括直接求极限、夹逼定理和单调有界准则。

这些方法帮助确定数列极限是否存在以及具体的极限值。

夹逼定理和单调有界准则是判定数列