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规范答题强化练(五)
解析几何
(45分钟48分)
1.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点62,-1,左右焦点分别为F1,F2
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点,过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M,N两个不同的点,|MN||OQ|2的值是否为一个常数?若是,
【解析】(1)原点O与直线x+y+b=0上的点的距离最小值为1,则b2=1,所以b=2.
因为点62,-1在椭圆上,所以32a
所以椭圆C的标准方程为x23+
(2)设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),
OQ的方程为x=my,则MN的方程为x=my+1,
由x=my,x
所以|OQ|=1+m2|y0|=
由x=my+1,x
所以y1+y2=-4m2m2+3,y1
|MN|=1+m2|y1-y
1+m2·
1+m2·43
所以|MN||OQ|2
所以|MN||
2.(12分)已知椭圆C:y2a2+x2b2
(1)求椭圆C的方程.
(2)过点M(1,0)任作一条直线与椭圆C相交于P,Q两点,试问在x轴上是否存在定点N,使得直线PN与直线QN关于x轴对称?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)由题意得b=2,a2=8,故椭圆C的方程为y28+
(2)假设存在点N(m,0)满足题设条件.当直线PQ与x轴不垂直时,设PQ的方程为y=k(x-1),
代入椭圆方程化简得:
(2+k2)x2-2k2x+k2-8=0,(6分)
设P(x1,y1),
Q(x2,y2),则x1+x2=2k22+k2,x1x2=k2-82+
=k(x
=k
=k2
因为2x1x2-(1+m)(x1+x2)+2m=2(k2-8)2+
所以当m=4时,kPN+kQN=0,直线PN与直线QN关于x轴对称,当PQ⊥x轴时,由椭圆的对称性可知恒有直线PN与直线QN关于x轴对称,综上可得,在x轴上存在定点N(4,0),使得直线PN与直线QN关于x轴对称.(12分)
3.(12分)已知F1,F2是椭圆Ω:x24+y2b2
(1)当b=1时,若P是椭圆Ω上在第一象限内的一点,且·=-54,求点P的坐标.
(2)当椭圆Ω的焦点在x轴上且焦距为2时,若直线l:y=kx+m与椭圆Ω相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且3x1x2+4y1y2=0,求证:△AOB的面积为定值.
【解析】(1)当b=1时,椭圆方程为x24+y2=1,则F1(-3,0),F2(3,0)(1
设P(x,y)(x0,y0),则
=(-3-x,-y),=(3-x,-y),(2分)
由·=-54,得x2+y2=74,(3分)
与椭圆方程联立解得x=1,y=32,即点P的坐标为1
(2)当椭圆Ω的焦距为2时,c=1.则b2=a2-c2=3,
所以椭圆Ω的方程为x24+y
得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.(6分)
因为Δ=64k2m2-16(3+4k2)(m2-3)=48(3+4k2-m2)0,所以3+4k2-m
所以x1+x2=-8km3+4k2,x1x
所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3m
由3x1x2+4y1y2=0,得3·4(m2-3
所以2m2=3+4k2.
因为|AB|=1+k2·|x1-x
=1+k2
=1+k2
=1+k2
=1+k2·
又点O到直线AB的距离
d=|m|1+
所以S△AOB=12·|AB|·d=12·1+k2·12m2·
4.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D.
(1)若当点A的横坐标为3,且△ADF为以F为顶点的等腰三角形,求C的方程.
(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点D(x0,0)x0≥12,记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP⊥BP,求证:点P的坐标为-x0,0,并求点
【解析】(1)由题知Fp2,0,FA=3+
则D(3+p,0),FD的中点坐标为32
则32+3p4
(2)依题可设直线AB的方程为x=my+x0(m≠0),
A(x1,y1),B(x2,y2),
则E(x2,-y2),由y2=4x,x=my+x0消去x,得y2-4my-4x0=0,因为x
y1+y2=4m,y1y2=-4x0,(6分)
设P的坐标为(xP,0),则=(x2-xP,-y2),=(x1-xP,y1),
由题知∥,所以(x2-xP)y1+y2(x1-xP)=0,
即x2y1+y2x1=
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