高三数学 第一轮复习 06：对数、对数方程.doc

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高中数学第一轮复习06对数、对数方程

·知识梳理·

模块01：对数

1、对数的定义：

在，，且的条件下，唯一满足的数，称为以为底的对数（logarithm），并用符号表示，而称为真数。

注意：对数的底是不等于1的正数。负数和零没有对数。

2、指数式与对数式的关系：

要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。

由对数定义可知：。

3、对数恒等式：()。

4、对数的运算性质：

对数性质1：当成立，则。

对数性质2：当成立，则。

对数性质3：当，对任何给定得实数成立，则。

特别的：

公式拓展：

5、换底公式及衍生性质：

换底公式：(且,,,)

换底公式推论：(1);(2)。

6、两种特殊的对数：

①通常将以10为底的对数叫做常用对数。的常用对数记作。

②另外在科学技术中，常使用无理数为底的对数，以为底的对数叫做自然对数，记为。

模块02：对数方程

1、基本概念：在指数中含有未知数的方程叫指数方程。

2、解指数方程的基本思想：化同底或换元。

3、方程类型及解法：

（1）求解形如,和的方程；

方法：

利用指数对数的性质，以及两边取对数的方法，把它们转化为解一个可用初等方法来解的代数方程。

具体如下：=1\*GB3①，转化为求解；

②其解为；

=3\*GB3③，转化为代数方程求解(学完对数之后)；

（2）求解形如的方程；

方法：通过换元，令把它转化为一个可用初等方法解决的简单代数方程，然后再解一个最简单的指数方程。

【知识补充】：

在解对数方程时，常要应用对数的运算性质进行恒等变形，通过恒等变形有时会造成增根或失根，对此，应注意，一是在变形过程中，注意变形后得到的方程是否与原方程同解，特别要注意变形过程中所应用的对数运算性质，是否满足性质中的条件；二是要注意把求得的结果进行检验。

·典例精讲·

模块01：对数

例1-1将下列对数式改写成指数式：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.

【答案】：

（1）；（2）；（3）.（4）；（5）.

例1-2将下列指数式改写为对数式：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；

【答案】：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；

例1-3求下列各式中的值：

（1）；（2）；（3）；（4）.

【答案】：（1）；（2）；（3）2；（4）3

【解析】：

（1）因为，所以.

（2）因为,所以.又所以

（3）因为，所以，于是

（4）且，且

，即,解得（舍），

即方程的解是3。

例1-4化简下列各式：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）.

【答案】：（1）3；（2）-4；（3）10；（4）1；（5）18

【解析】：

（1）；

（2）由对数的运算性质,化简可得

（3）原式

（4）.

（5）

例1-5

（1）已知，则am＋2n等于()

A．3B．C．9D．

【答案】：D

【解析】：∵，∴am＝，an＝3.∴am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝×32＝．故选D．

（2）设，且，则（）

A． B．10 C．20 D．100

【答案】：A

【解析】：因为，所以，所以，

，又，．故选：A

（3）已知，，，则的最小值是（）.

A．3 B． C． D．9

【答案】：B

例1-6

（1）若则()

A． B． C． D．

【答案】：A

【详解】：因为，，，所以,

故选A。

（2）若,则用含的代数式可表示为（）

A． B． C． D．

【答案】：A

【解析】：试题分析：由得，

所以。

（3）已知:，用表示__________

【答案】：

【解析】：，，又，

故答案为：

例1-7

（1）若，则________

【答案】：64

【解析】：.故答案为：64

（2）计算.

【答案】：3

【解析】：，故

例1-8已知,

（1）求的值;(2)求的值.

【答案】：（1）（2）

【解析】：（1）由,得,即.

（2）由x＝log23，得2x＝3，∴2－x＝＝，∴23x＝(2x)3＝33＝27,2－3x＝，

∴＝.故答案为：

模块02：幂指数与对数的综合运算

例2-1

（1）计算：.

【答案】：10

（2）计算：=_____________

【答案】：4

例2-2定义运算法则如下：，

则

A．1B．4C．5D．不同于以上答案

【答案】：

【解析】：依定义，，所以，故选：．

例2-3已知使为整数的数称为“企盼数”，则在区间内“企盼数”共有______个.

【答案】：