北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第二章 导数及其应用 6.3 函数的最值.pptVIP

;内容索引;课标要求;基础落实?必备知识全过关;知识点函数最值的定义

1.函数y=f(x)在区间[a,b]内的最大值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不超过f(x0)(如图所示).

;名师点睛

1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)=在区间(0,2)上的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.

2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最值,例如函数

在[-1,1]上只有最大值,而没有最小值.;3.函数的最值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个定义的区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.

4.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能是最值,最值只要不在端点处则一定是极值.;过关自诊

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)函数的最大值不一定是函数的极大值.()

(2)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.()

(3)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值.();2.你能类比最大值点和最大值的定义方法,给出最小值点和最小值的定义吗?;重难探究?能力素养全提升;;解(1)f(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f(x)=0,得x=0(x=2舍去).

当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:

所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.;规律方法求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的方法;变式训练1;角度2求函数在开区间或无穷区间上的最值

【例2】求下列函数的最值:;得极大值,又因为当x=1时y=0,当x1时y0,当x1时y0.据此可以画出函数的大致图象,如图所示.;(2)函数的定义域是R,且f(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f(x)0,得x1或x-3;令f(x)0,得-3x1,所以函数f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)内单调递增,在

(-3,1)内单调递减,因此函数f(x)在x=-3处取得极大值,极大值等于f(-3)=6e-3;

在x=1处取得极小值,极小值等于f(1)=-2e.;规律方法求函数在开区间或无穷区间上最值的方法

求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.;变式训练2

函数在(0,+∞)上的最小值是.?;;规律方法对参数进行讨论,其实质是讨论导函数f(x)大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒大于等于0或小于等于0,且使f(x)=0成立的值是孤立的,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.;变式训练3

求函数f(x)=x3-4x+4在[0,a](a0)上的最大值和最小值.;;解(1)由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设矛盾.

求导得f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),

令f(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).

①当a0,且当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:;②当a0时,同理可得当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29.

又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29f(-1),

∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.

综上可得a=2,b=3或a=-2,b=-29.

(2)h(x)=x3+3x2-9x+1,h(x)=3x2+6x-9.

令h(x)=0,解得x1=-3,x2=1,

当x变化时,h(x)及h(x)的变化情况如下表:;x;规律方法1.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.

2.理解运算对象,选择运算方法,求得运算结果,体现了数学运算的数学核心素养.;变式训练4

设函数f(x)=lnx+,m0,求f(x)的最小值为2时的m的值.;;学以致用?随堂检测全达标;1.如图所示,函数f(x)导函数的图象是一