北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 三角恒等变换 1.1 基本关系式 1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值 1.3 综合应用.pptVIP

第四章1.1基本关系式1.2由一个三角函数值求其他三角函数值1.3综合应用

基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引成果验收·课堂达标检测

课程标准1.掌握同角三角函数的基本关系.2.能利用同角三角函数的基本关系进行求值、化简与证明.

基础落实·必备知识全过关

知识点三角函数的基本关系如图,任意角α的终边与单位圆的交点P的坐标是(cosα,sinα),点P到坐标原点O的距离为1,所以sin2α+cos2α=.?角α是任意的1

另外,由正切函数的定义,有tanα=,这两个关系式是同角三角函数的基本关系式.?其中α≠kπ+(k∈Z)

名师点睛1.“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,与角的表达形式无关.2.两个公式体现的是同角三角函数的基本关系,其中平方关系体现的是同一个角的正弦与余弦之间的关系;商数关系体现的是同一个角的正弦、余弦和正切三者之间的关系.3.sin2α与sinα2之间的区别:前者是α的正弦的平方,读作“sinα的平方”;后者是α的平方的正弦,两者是截然不同的.

4.同角三角函数基本关系式的变形有以下几种:(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)sinα=cosαtanα;(4)cosα=(5)(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.

过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)sin2α+cos2β=1.()×√×××√×

2.设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sinα,x=cosα,=tanα.能否根据x,y的关系得到sinα,cosα,tanα的关系?提示可以,由x2+y2=1,得cos2α+sin2α=1.

3.式子sin22023+cos22023=1正确吗?提示在等式sin2x+cos2x=1中x∈R,所以sin22023+cos22023=1正确.

重难探究·能力素养全提升

探究点一简单的三角函数求值问题【例1】(1)若sinα=-,且α是第三象限角,求cosα,tanα的值;

(2)若cosα=,求tanα的值;

规律方法1.(1)已知sinθ,求cosθ,tanθ,常用以下方式求解:(2)已知cosθ,求sinθ,tanθ,常用以下方式求解:(3)已知tanθ,求sinθ,cosθ,常用以下方法求解:

2.(1)若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能位于的象限,再分类求解;(2)利用平方关系时,应根据角θ的终边所在的象限确定所求三角函数值的符号.

B

C

探究点二关于sinα,cosα的齐次式的求值

规律方法1.若待求分式的分子、分母都是含有sinα,cosα的齐次式,则可采用分子、分母同时除以cosα的若干次方,将其转化为关于tanα的表达式,比如:

2.若一个式子是关于sinα与cosα的二次齐次式,则可逆用平方关系sin2α+cos2α=1将其转化为1中的问题再求解.比如:asin2α+bsinαcosα+ccos2α

变式训练2已知2cos2α-3sinαcosα=,求tanα.

探究点三利用sinθ±cosθ与sinθcosθ间的关系求值【例3】已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),求:(1)tanθ;(2)sinθ-cosθ.

变式探究把条件中的sinθ+cosθ与结论中的sinθ-cosθ互换.已知sinθ-cosθ=,θ∈(0,π),则sinθ+cosθ=,tanθ=.?

规律方法1.由同角三角函数的基本关系式,可得(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,因此sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ三式之间有密切的关系,知一式的值可求另两式的值.2.在求解sinα±cosα的值时往往需要用到开方,此时需要先判断sinα±cosα的正负,判定的方法有:(1)根据sinαcosα的正负进行判断;(2)可根据角的范围进行判断.

探究点四三角函数的化简与求值

规律方法1.三角函数式的化简方法三角函数式的化简就是表达式的恒等变形,其一般要求如下:(1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低;(2)尽量使分母不含三角函数式;(3)根式内的三角函数式尽量开出来;(4)能求得数值的应计算出来.注意在三角函数式变形时,常将式子中的“1”作巧妙的