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全国大学生数学建模竞赛A题解析

报告提纲：一、A题题目二、问题分析三、解题思路四、综合评述

一、A题题目（续）图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图。

一、A题题目（续）图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

一、A题题目（续）（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

一、A题题目（续）（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。附件1：小椭圆储油罐的实验数据（略）附件2：实际储油罐的检测数据（略）

二、问题分析该问题是来自于加油站设备研究生产企业的一个实际课题，问题由两大部分组成：第一部分：为了了解罐体变位对罐容表的影响，对于小椭圆形储油罐（实验罐），在已知变位参数的情况下，检测出油位高度与油量的对应数值，要求建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表。这一部分属于“正问题”。

二、问题分析（续）具体而言，第一部分有以下几个问题要完成。（1）对于小椭圆形实验罐，要给出它在无变位情形下油位高度与储油量的计算公式（模型）。

二、问题分析（续）（2）对于小椭圆形实验罐，要给出它在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量计算的修正模型。这里需要考虑罐体两端有油/无油的不同情况。

二、问题分析（续）（3）对于（2）得到的实验罐在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量的模型，将变位参数代入计算，得出修正后的油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。并与原标定值比较，分析罐体变位的影响。第二部分：根据实际检测数据，识别实际储油罐罐体是如何变位的，估计出变位参数，给出实际罐罐容表的修正标定方法和结果。并分析检验模型的正确性和方法的可靠性。这一部分属于“反问题”。

二、问题分析（续）具体而言，第二部分有以下几个问题要完成。（4）对于实际储油罐，建立罐体变位后罐内储油量V与油位高度h及纵向倾斜角度和横向偏转角度之间的关系模型，即的关系模型。

二、问题分析（续）这一问要根据油位高度分别考虑两端有油或一端有油的情况，同时考虑偏转情况，所以，具体的解析表达式可能会比较复杂。

二、问题分析（续）（5）根据附件2的检测数据，估计实际储油罐的纵向倾斜角度和横向偏转角度。由于实际罐内油量初值未知，所以，罐内对应于某一油位高度的储油量准确值未知。因此，不能由（4）求出的表达式解出和。所以，这一问要给出估计参数和的准则，然后再进行估计。

二、问题分析（续）（7）利用附件2的实际检测数据，分析检验模型的正确性和方法的可靠性。（6）根据（4）得到模型和参数估计值和，给出罐体变位后油位高度h间隔为10cm的罐容表标定值。

三、解题思路（1）对于小椭圆形实验罐，给出它在无变位情形下油位高度与储油量的计算公式（模型）。xyOhab

三、解题思路（续）利用积分可以计算出油位高度为h时实验罐的截面面积，于是得到油位高度与储油量的计算公式：其中a，b，L分别是实验罐截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度，h为油位高度。这个计算公式也可以从相关文献中查到。将实验罐的实际参数代入计算，容易得到实验罐无变位情形的正常罐容表。

三、解题思路（续）（2）对于小椭圆形实验罐，给出它在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量计算的修正模型。油面下降到Ⅰ区时，油浮显示油位高度总是0，不随实际油量的变化而变化，无需要考虑油面在I区内油量的计算公式。同理，当油位高度上升到Ⅴ区时，由于油浮显示油位高度总是2a，也无需考虑油面在Ⅴ区内的油量计算公式。

三、解题思路（续）因而，只需讨论油面分