北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 3.1 向量的数乘运算 3.2 向量的数乘与向量共线的关系.ppt

;基础落实·必备知识全过关;课程标准;;知识点一向量的数乘运算

1.向量的数乘的概念

实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件:

(1)当λ0时,向量λa与向量a的方向相同;

当λ0时,向量λa与向量a的方向相反;

当λ=0时,λa=0.?

能使λa=0的情况还有λ∈R,a=0

(2)|λa|=|λ||a|.

这种运算称为向量的数乘.;2.向量的数乘的几何意义

如图,由实数与向量数乘λa的定义可以看出,它的几何意义是:当λ0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;当λ0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍.

;名师点睛

1.实数与向量可以进行数乘运算,其结果是一个向量,不是实数;但实数与向量不能进行加、减法运算,如λ+a,λ-a是错误的.

2.对于任意非零向量a,向量是与向量a方向相同的单位向量.向量-是与向量a方向相反的单位向量.;过关自诊

1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)已知实数λ与向量a,则λ+a与λ-a的和是向量.()

(2)对于非零向量a,向量-3a与向量a方向相反.()

(3)对于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.()

2.已知向量a=-2e,b=e(e为单位向量),则向量a与向量b()

A.不共线B.方向相反

C.方向相同 D.|a||b|;知识点二数乘运算的运算律

1.数乘运算的运算律

设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:

(1)(λ+μ)a=λa+μa;

(2)λ(μa)=(λμ)a;

(3)λ(a+b)=λa+λb.

2.向量的线性运算

向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).

若一个向量c由向量a,b的线性运算得到,如c=2a+3b,则称向量c可以用向量a,b线性表示.;名师点睛

1.(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.

2.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.;过关自诊

1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)向量的数乘运算不是线性运算.()

(2)若x是未知向量,且3x-2(x-a)=0,则x=-2a.()

(3)若λb=λa,则定有b=a.()

(4)若λa-μa=0,则λ=μ.();2.将[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简式为()

A.2a-b B.2b-a

C.a-b D.b-a;3.(多选)已知实数m,n和向量a,b,下列结论中正确的是(??)

A.m(a-b)=ma-mb

B.(m-n)a=ma-na

C.若ma=mb,则a=b

D.若ma=na(a≠0),则m=n;知识点三共线(平行)向量基本定理?

此条件不可缺少

给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb.;名师点睛

1.向量共线的条件:当向量b=0时,b与任意向量a共线.当b≠0时,对于任意向量a,如果存在一个实数λ,使a=λb,那么由向量数乘的定义知,a与b共线.反之,已知向量a与b共线,b≠0,且向量a的长度是向量b的长度的λ倍,即|a|=λ|b|,则当a与b同方向时,a=λb;当a与b反方向时,有a=-λb.

2.已知A,B,C三点共线,O是平面内任意一点,则有,其中λ+μ=1.

3.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0.;过关自诊

1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)|λa|=λ|a|.()

(2)若a=λb,则a与b共线.()

(3)若向量a与b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb.()

(4)若a=e1-e2,b=-2e1+2e2,则向量a与b是共线向量.();2.[人教A版教材例题改编]已知任意两个非零向量a,b,试作

.求证:A,B,C三点共线.;3.共线(平行)向量基本定理中为什么规定b≠0?;知识点四直线的向量表示;过关自诊

1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)直线的方向向量不唯一.();;探究点一数乘向量的定义及几何意义;规律方法对向量数乘运算的三点说明

(1)λa中的实数λ叫作向量a的系数.

(2)向量数乘的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.

(3)当λ