北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 三角函数 8 三角函数的简单应用.pptVIP

第一章§8三角函数的简单应用

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课程标准1.了解常见的三角函数模型.2.初步体会利用三角函数研究简单的实际问题.3.通过对三角函数模型的简单应用的学习,初步学会由图象求函数解析式的方法.

基础落实·必备知识全过关

知识点解答三角函数应用题的基本步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步:审题、建模、解模、回归实际问题.(1)审题:审题是解题的基础,它包括阅读理解、翻译、挖掘等,通过阅读,真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质,初步预测所属数学模型.有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语,要仔细阅读,准确把握,同时,注意挖掘一些隐含条件.

(2)建模:在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,建立三角函数模型.这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题的要求,这样便将实际问题转化成了数学问题.(3)解模:运用三角函数的有关公式进行推理、运算,使问题得到解决.(4)回归实际问题:应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学科学,又要符合实际背景,因此,对于解出的结果要代入原问题中进行检验.

名师点睛1.三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用.

2.三角函数模型的三种模式在现实生活中,许多变化的现象都具有周期性,因此,可以用三角函数模型来描述.如气象方面有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物理学方面有各种各样的振动波,生理方面有人的情绪、智力、体力的变化等.研究这些应用问题,主要有以下三种模式:①给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题;②给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数解析式,再解决其他问题;③搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数解析式,进一步用函数性质来解决相应的实际问题.

过关自诊[人教A版教材例题]摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.如图,某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径为110m,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30min.(1)游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动tmin后距离地面的高度为Hm,求在转动一周的过程中,H关于t的函数解析式;(2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度;(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里,在运行一周的过程中,求两人距离地面的高度差h(单位:m)关于t的函数解析式,并求高度差的最大值(精确到0.1).

解如图,设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心O为原点,与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.

重难探究·能力素养全提升

探究点一已知三角函数解析式解决实际问题【例1】心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)画出函数p(t)的草图;(4)求出此人的血压在血压计上的读数.

描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示:(4)由图可知此人的收缩压为140mmHg,舒张压为90mmHg.

规律方法用建模方法解决函数图象与解析式问题解决此类问题的关键是将实际意义与函数模型y=Asin(ωx+φ)的性质相结合,转化为数学问题再解决.

变式训练1某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示,且满足y=Asin(ωt+φ)+b(ω0,φ0).(1)根据图中数据求函数解析式;(2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰?

探究点二已知函数模型确定函数解析式【例2】如图,风车叶轮的最高顶点离地面14.5m,叶轮旋转所成圆的直径为14m,风叶轮以每分钟旋转2周的速度匀速转动,叶轮顶点从离地面最低点经15s后到达最高点.以叶轮顶点离地面的高度y(单位:m)与叶轮顶点离地面最低点开始转的时间t(单位:s)建立一个数学模型,用函数y=asin[ω·(t-b)]+c来表示,求参数a,b,c,ω的值,并写出函数解析式.

因为叶轮旋转所成圆的直径为14m,所以叶轮顶点应该在离圆心上下、左右7m范围内变化,即函数振幅a=7.

规律方法三角函数解析式的求法求y=Asin(ωx+