22.3 实际问题与二次函数(提升训练)(解析版).docx

22.3实际问题与二次函数

【提升训练】

一、单选题

1．如果一个矩形的周长与面积的差是定值，我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图，在矩形中，，，，那么这个“定差值矩形”的对角线的长的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据矩形的性质，由勾股定理可得，由二次函数的性质可求解．

【详解】

解：∵在矩形中，，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴当时，，

∴有最小值为（取正值），

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，二次函数的性质，掌握相关性质是本题的关键．

2．如图，点是菱形边上的动点，它从点出发沿路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为（）

A．B． C． D．

【答案】C

【分析】

设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在BC上，在CD上和在DA上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．

【详解】

解：设菱形的高为h，分三种情况：

①当P在BC边上时，

y＝BP?h，

∵BP随x的增大而增大，h不变，

∴y随x的增大而增大，且为一次函数关系，

故选项A和D不正确；

②当P在边DC上时，

y＝AB?h，

AB和h都不变，

∴在这个过程中，y不变，

故选项B不正确；

③当P在边AD上时，

y＝AP?h，

∵PA随x的增大而减小，h不变，

∴y随x的增大而减小，且为一次函数，

故选：C；

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出△PAB的面积的表达式是解题的关键．

3．如图，四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段的延长线上，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）

A．B．C． D．

【答案】B

【分析】

分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．

【详解】

解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，

∴∠DAB=90°，AD=AB，

在△ADE和△ABF中，

∴△ADE≌△ABF（SAS），

∴∠ADE=∠ABF，DE=BF，

∵∠DEG=90°，

∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEG，

∴∠BEG=∠ADE，

∴∠BEG=∠ABF，

∴EGBF，

∵DE=BF，DE=GE，

∴EG=BF，

∴四边形BFEG是平行四边形，

∴四边形EFBG的面积=2△BEF的面积=2?BE?AF，

设AE=x，四边形EFBG的面积为y，

当0≤x≤1时，y=（1-x）?x=-x2+x；

当x＞1时，y=（x-1）?x=x2-x；

综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，

符合上述特征的只有B，

故选：B．

【点睛】

本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．

4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动，设的面积为，则下列图象中，能反映与的函数关系的是（）．

A．B．C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意得出临界点P点横坐标为1时，△APO的面积为0，设直线与y轴交于点B，则B(0，2)，连接AB，利用割补法，得到S与m的函数，进而即可得到答案．

【详解】

解：∵点P（m，n）在直线y＝?x＋2上运动，

∴当m＝1时，n＝1，即P点在直线AO上，此时S＝0，

设直线与y轴交于点B，则B(0，2)，连接AB，

∵点A的坐标为，B(0，2)，

∴是等腰直角三角形，且，

当m≤1时，S△APO＝×2×2-×2×m×2＝2?2m，

∴S与m是一次函数关系，

同理：当m＞1时，S△APO＝2m?2，故S与m是一次函数关系，

只有选项C符合题意．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意，得到S与m的函数解析式，是解题的关键．

5．如图．正方形中，，对角线，相交于点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，到点，时停止运动，设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

因BE=CF，根据正方形的性质，可证明△BOE≌△COF，从而这两个三角形的面积相等，故四边形OECF的面积等于△BOC的面积，故有△OEF的面积=四边形OECF的面积?△ECF的面积，而△ECF的面积则可以用t的代数式表示出来，从而可得△OEF的面积关于t的函数关系式，最后可判定结果．

【详解】

由题意，得：BE=CF=tcm，则CE=BC-BE=(8-t)cm

∵四边形ABCD是正方形

∴∠OBE=∠OCF=45゜，OB=OC

∴△OBE≌△OCF

∴

∴

∵

∴

∴