成考（专升本）高数（二）连续型随机变量及其概率密度.pptxVIP

成考（专升本）高数（二）

连续型随机变量及其概率密度

CONTENTS

目

录

连续型随机变量概述

01

02

常见的连续型随机变量

03

连续型随机变量的数字特征

01

连续型随机变量概述

连续型随机变量是指其取值在某个区间内可以连续变化的随机变量

它的取值不能一一列举，而是可以取某个区间内的任何数值

连续型随机变量通常由概率密度函数来描述

连续型随机变量的概念

连续型随机变量的概率密度函数在整个定义域上的积分等于1

概率密度函数在某一点上的值并不直接代表该点处的概率

连续型随机变量在某一点的概率为0

连续型随机变量的性质

离散型随机变量的取值是离散的，可以列举出所有可能的取值

连续型随机变量的取值是连续的，无法列举出所有可能的取值

离散型随机变量用概率质量函数描述，而连续型随机变量用概率密度函数描述

与离散型随机变量的区别

任意时间段内某事件的持续时间

测量得到的某个物理量的数值

抛一枚硬币直到出现正面所需的次数

连续型随机变量的例子

连续型随机变量的定义

分布函数的性质

分布函数的值域在0到1之间

分布函数在极限情况下满足F(-

∞)

=

0，F(+∞)

=

1

分布函数是右连续的

分布函数的应用

可以用来求解随机变量的期望和方差

在统计推断中用于假设检验和置信区间的构建

在风险管理和决策理论中的应用

分布函数的定义

分布函数是随机变量小于或等于某个值的概率

记为F(x)，表示随机变量X小于或等于x的概率

分布函数是单调不减的

分布函数的计算

通过概率密度函数计算分布函数，即F(x)

=

∫(f(t)dt)从-

∞到x

对于已知的分布函数，可以通过求导得到概率密度函数

分布函数可以用来计算随机变量落在某个区间内的概率

连续型随机变量的分布函数

概率密度的定义

概率密度是分布函数的导数

表示随机变量落在某个小区间内的概率与该区间长度的比值

概率密度本身并不是概率，但其积分可以表示概率

概率密度的性质

概率密度函数在整个定义域上的积分为1

概率密度函数可以为正值，但不能为负值

概率密度函数在随机变量的支撑集上非零

概率密度的计算

通过已知分布函数求导得到概率密度函数

对于特定分布，可以直接写出其概率密度函数的表达式

可以使用数值方法计算概率密度函数

概率密度的应用

用于计算随机变量的累积分布函数

用于求解随机变量的期望、方差和矩

在概率论和统计学中用于描述随机现象

连续型随机变量的概率密度

02

常见的连续型随机变量

均匀分布的定义

均匀分布是指数值在某一区间[a,

b]内任意取值的概率相同的分布

任意两个长度相等的子区间内取值的概率相等

在数轴上任意等长区间内取值的概率密度是常数

均匀分布的概率密度函数

均匀分布的概率密度函数在区间[a,

b]内为常数1/(b-

a)

在区间外概率密度函数值为0

概率密度函数图像为一条水平线

均匀分布的分布函数

分布函数在区间[a,

b]内是线性增长的，表达式为(x-

a)/(b-

a)

当xa时，分布函数值为0；当xb时，分布函数值为1

分布函数图像为一条从(0,

0)到(b,

1)的直线

均匀分布的应用

用于模拟等概率事件，如随机数生成

在假设检验中作为基础分布

在统计模拟中作为基础模型

均匀分布

正态分布是关于均值对称的钟形曲线分布

以均值为中心，数据分布呈对称性

曲线形状由均值μ和标准差σ决定

”

正态分布的定义

概率密度函数为e的指数函数，形式为1/(σ√(2π))

*

exp(-

(x-

μ)^2/(2σ^2))

函数图像呈钟形，以x=μ为对称轴

σ越大，曲线越平坦；σ越小，曲线越尖锐

”

正态分布的概率密度函数

分布函数是概率密度函数的积分，用于计算随机变量小于某值的概率

当x=μ时，分布函数值为0.5

随x增大，分布函数值逐渐接近1

”

正态分布的分布函数

在自然科学和社会科学中广泛存在

用于假设检验和置信区间的计算

用于质量控制中的过程能力分析

”

正态分布的应用

正态分布

指数分布是描述独立随机事件发生的时间间隔的连续分布

具有无记忆性，即与过去无关

在

reliability

分析中常用

指数分布的定义

概率密度函数为λe^(-

λx)，其中λ为事件发生率

函数图像随λ增大而变得更尖锐

x轴上概率密度随x增大而单调递减

指数分布的概率密度函数

01

02

分布函数为1

-

e^(-

λx)，描述了随机变量小于x的概率

当x=0时，分布函数值为0；当x趋于无穷时，分布函数值为1

分布函数随x增大而单调递增

指数分布的分布函数

用于计算设备故障间隔时间

在排队论中描述服务时间

在生存分析中描述寿命长度

指数分布的应用

03

04

指数分布

01

对数正态分布是原始数据取对数后服从正态分布的分布

数据的分布是右偏的，具有较长的右尾部

常用于描述股价等金融资产收益

对数正态分