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24.1圆的有关性质
【基础训练】
一、单选题
1．P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
根据勾股定理和垂径定理即可求得．
【详解】
解：在过点P的所有⊙O的弦中，
如图，当弦与OP垂直时，弦最短，
此时，
得其半弦长为4，则弦长是8，
故选：C．
【点睛】
此题首先要能够正确分析出其最短的弦，然后综合运用垂径定理和勾股定理进行计算．
2．如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接利用圆周角定理即可得．
【详解】
解：，
由圆周角定理得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
3．如图，是的直径，、是上的两点，若，则（）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】
根据，求出的度数，根据圆周角定理求出的度数．
【详解】
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
4．如图，在中，为直径，为弦，已知，则的度数为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由圆周角定理结合三角形内角和定理即可求出．
【详解】
∵，
∴．
∵AB为⊙O直径，
∴．
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查圆周角定理及三角形内角和定理．掌握圆周角定理及其推论是解答本题的关键．
5．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【答案】B
【分析】
连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝15°，即可求∠BCD的度数．
【详解】
解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠ACD＝15°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理及其推论．连接常用的辅助线并结合数形结合的思想是解答本题的关键．
6．如图，是四边形的外接圆，连接和，且，则的度数是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可．
【详解】
∵四边形ABCD为的内接四边形，
，
∴，
由圆周角定理得，，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7．如图，点、、在⊙O上，，则的度数是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查圆周角定理．圆周角定理“一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”是解答本题的关键．
8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CBA＝40°，则∠CBD的大小为（）
A．50° B．40° C．25° D．20°
【答案】C
【分析】
连接AC、AD，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用互余计算出∠BAC＝50°，然后利用圆周角定理得到∠CAD＝∠BAD＝∠CBD∠BAC．
【详解】
解：连接AC、AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠CBA＝90°﹣40°＝50°，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BAC＝×50°＝25°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
9．如图，四边形内接于⊙O，若，则的度数为（）
A．18 B．72 C．100 D．108
【答案】D
【分析】
∠D与∠B是圆内接四边形的对角，根据圆内接四边形的对角互补求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B=180°，
又∠B=72°，
∴∠D=180°-∠B=180°-72°=108°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补．
10．如图，是的外接圆，，则的度数为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：由圆周角定理得，∠C=∠AOB=25°，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】D
【分析】
由⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝
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