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教师资格认定考试高级中学数学真题2017年下半年

一、单项选择题

1.?矩阵的秩为______

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：D

[解析]对矩阵进行初等变换，则该矩阵的秩为3。

?

2.?当x→x0时，与x→x0是等价无穷小的是______

A.sin(x-x0)

B.ex-x0

C.(x-x0)2

D.ln|x-x0|

正确答案：A

[解析]若则称α(x)与β(x)是当x→x0时的等价无穷小。当x→x0时，sin(x-x0)与x-x0是等价无穷小。x→x0时，ex-x0-1与x-x0是等价无穷小，(x-x0)2是x-x0的高阶无穷小，ln|1+x-x0|与x-x0是等价无穷小，故B、C、D三项都不正确。故选A。

?

3.?下列四个级数中条件收敛的是______

??A．

??B．

??C．

??D．

正确答案：D

[解析]对于p-级数当p≤1时，级数发散，p＞1时级数收敛，故A项发散，B项绝对收敛；既条件收敛也绝对收敛；属于交错级数，收敛，但发散，故原级数条件收敛。选D。

?

4.?下列关于椭圆的叙述：

??①平面内到两个定点的距离之和等于常数的动点轨迹是椭圆；

??②平面内到定直线和直线外的定点距离之比为大于1的常数的动点轨迹是椭圆；

??③从椭圆的一个焦点出发的射线，经椭圆反射后通过椭圆的另一个焦点；

??④平面与圆柱面的截面是椭圆。

??正确的个数是______

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：C

[解析]平面内到两定点的距离之和等于常数(常数大于两定点之间的距离)的动点轨迹是椭圆，①错；平面内到定点和定直线(定点不在定直线上)距离之比为小于1的常数的动点轨迹是椭圆，②对；③正确；平面与圆柱面的截面可能是长方形、圆、椭圆，④错误。故选C。

?

5.?下列多项式为正定二次型的是______

??A．

??B．

??C．

??D．3x1x2+2x2x3-4x1x3

正确答案：B

[解析]正定二次型对应的矩阵的顺序主子式都大于对应的二次型矩阵为故选B。

?

6.?已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ)2，假设随机变量Y-2X-3，Y服从的分布是______

A.N(2μ-3，2σ2-3)

B.N(2μ-3，4σ2)

C.N(2μ-3，4σ2+9)

D.N(2μ-3，4σ2-9)

正确答案：B

[解析]X～N(μ，σ2)，Y=2X-3，则E(Y)=2E(X)-3=2μ-3，D(Y)=D(2X-3)=4D(X)=4σ2，故Y～N(2μ-3，4σ2)。

?

7.?“等差数列”和“等比数列”的概念关系是______

A.交叉关系

B.同一关系

C.属种关系

D.矛盾关系

正确答案：A

[解析]“等差数列”和“等比数列”的外延中都包含常数数列，因此属于交叉关系。

?

8.?在集合、三角函数、导数及其应用、平面向量和空间向量五个内容中，属于高中数学必修课程内容的有______

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

正确答案：C

[解析]导数及其应用和空间向量均属于选修课程内容。

?

二、简答题

(每小题7分，共35分)

线性空间R3中，已知向量α1=(1，2，1)，α2=(2，1，4)，α3=(0，-3，2)，记V1={λα1+μα2|λ，μ∈R}，V2={Kα3|k∈R}。令V3={t1η1+t2η2|t1，t2∈R，η1∈V1，η2∈V2}。

1.?求子空间V3的维数；

正确答案：

因为V3={t1η1+t2η2|t1，t2∈R，η1∈V1，η2∈V2}，由题意可得则α1，α2线性无关，所以dim(V3)=2。

?

2.?求子空间V3的一组标准正交基。

正确答案：

由题(1)可知α1，α2为V3的一组基，所以将α1，α2正交化，

??令

??将β1，β2单位化，可得V3的一组标准正交基

?

3.?据统计，在参加某类职业资格考试的考生中，有60%是本专业考生，有40%是非本专业考生，其中，本专业考生的通过率为85%，非本专业的考生的通过率是50%。某位考生通过了考试，求该考生是本专业考生的概率。

正确答案：

该考生通过考试的概率P1=60%×85%+40%×50%=0.71.

??该考生是本专业考生的概率

?

4.?在平面有界区域，由连续曲线C围成一个封闭图形，证明：存在实数ξ，使直线y=x+ξ平分该图形的面积。

正确答案：

证明：y=x+ξ与该图形相交，将其面积分别分为S1和S2，则S1-S2是关于ξ的连续函数，记F(ξ)=S1(ξ)-S2(ξ)，所以Fmax=S(S为封闭曲线的面积)，Fmin=-S。

??根据连续函数的介值定理，所以一定存在ξ，使F(ξ)=0，