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绝对值〔提高〕

撰稿：孙景艳审稿：赵炜

【学习目标】

1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；

2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；

3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比拟两个负有理数的大小；

4.理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.

【要点梳理】

要点一、绝对值

1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

要点诠释：

〔1〕绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

〔2〕绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

〔3〕一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

要点二、有理数的大小比拟

1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a与b在数轴上的位置如下图，那么a＜b．

2.法那么比拟法：

两个数比拟大小，按数的性质符号分类，情况如下：

两数同号

同为正号：绝对值大的数大

同为负号：绝对值大的反而小

两数异号

正数大于负数

－数为0

正数与0：正数大于0

负数与0：负数小于0

要点诠释：

利用绝对值比拟两个负数的大小的步骤：〔1〕分别计算两数的绝对值；〔2〕比拟绝对值的大小；〔3〕判定两数的大小．

3.作差法：设a、b为任意数，假设a-b＞0，那么a＞b；假设a-b＝0，那么a＝b；假设a-b＜0，a＜b；反之成立．

4.求商法：设a、b为任意正数，假设，那么；假设，那么；假设，那么；反之也成立．假设a、b为任意负数，那么与上述结论相反．

5.倒数比拟法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.

【典型例题】

类型一、绝对值的概念

1．计算：〔1〕〔2〕|-4|+|3|+|0|〔3〕-|+(-8)|

【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.

解：(1)，

(2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，

(3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．

【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．

2．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．

【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．

【答案与解析】

解：因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；

因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；

由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．

【总结升华】绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意假设一个数的绝对值是正数，那么此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4.

举一反三：

【变式1】(1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，那么x、y的值各是多少?

【答案】x＝6，y＝±4

【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，那么点A表示的数为．

如果｜x－2｜＝1，那么x＝；

如果｜x｜＞3，那么x的范围是．

【答案】6或-6；1或3；或

【变式3】|a|＝3，|b|＝4，假设a，b同号，那么|a+b|＝_________；假设a，b异号，那么|a+b|＝________．据此讨论|a+b|与|a|+|b|的大小关系．

【答案】7，1；假设a，b同号或至少有一个为零，那么|a+b|=|a|+|b|；假设a，b异号，那么|a+b|＜|a|+|b|，

由此可得：|a+b|≤|a|+|b|.

类型二、比大小

3．比拟以下每组数的大小：

(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与．

【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比拟．

【答案与解析】

解：(1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．

因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．

(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．

(3)化简得：．这是两个负数比拟大小，因为，，且．所以．

(4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负