北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第3章 导数及其应用 解答题专项一 第1课时 利用导数证明不等式.ppt

;考情分析:导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一,近几年高考命题的趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后两个题目位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.;考向1不含参数的一元函数不等式的证明

例1设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.

(1)求a,b;

(2)证明:f(x)1.;令h(x)=ex(ex-2)+ex2(x0),则h(x)=ex(ex+e-2)+2ex0,

故h(x)在(0,+∞)上是增加的,;证明如下:设d(x)=ex-x-1,则d(x)=ex-1,令d(x)=0,则x=0.

当x∈(-∞,0)时,d(x)0,故d(x)在(-∞,0)上是减少的;

当x∈(0,+∞)时,d(x)0,故d(x)在(0,+∞)上是增加的.

所以d(x)min=d(0)=0,所以d(x)≥0,即ex≥x+1,x∈R(当且仅当x=0时取等号).;先证ex≥ex,x∈R.

设d(x)=ex-ex,则d(x)=ex-e,令d(x)=0,则x=1.

当x∈(-∞,1)时,d(x)0,故d(x)在(-∞,1)上是减少的;

当x∈(1,+∞)时,d(x)0,故d(x)在(1,+∞)上是增加的.

所以d(x)min=d(1)=0,故d(x)≥0,即ex≥ex,x∈R(当且仅当x=1时取等号).;规律方法利用导数证明不等式f(x)g(x)的基本方法;对点训练1(2021全国乙,理20)设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.

(1)求a;;当x0时,p(x)0,

当0x1时,p(x)0,

所以当a=1时,x=0是函数y=xf(x)的一个极大值点.;由(ⅰ)分析知F(x)在区间(-∞,0)内为减函数,所以F(x)F(0)=0.

综合(ⅰ)、(ⅱ)有g(x)1.;证法2:(转化为无分母函数)

由(1)可知,xf(x)=xln(1-x),;所以h(0)=0,当x∈(-∞,0)时,h(x)0,

当x∈(0,1)时,h(x)0,

所以x=0为h(x)的唯一极小值点,也是最小值点,

所以当x∈(-∞,0)∪(0,1)时,h(x)h(0)=0,即x+ln(1-x)xln(1-x),;当0x1时,h(x)0,h(x)是增加的;

当x1时,h(x)0,h(x)是减少的.

所以h(x)的极大值即最大值为h(1)=0,

所以当x0时,h(x)≤0,即lnx≤x-1,当且仅当x=1时,等号成立.;考向2含参数的一元函数不等式的证明

例2(2022河南焦作一模)已知函数f(x)=ex-k(lnx+1),k∈R.

(1)若x=是f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;

(2)证明:当k∈(0,e)时,f(x)0.;又g(1)=0,函数g(x)在(0,+∞)上是增加的,

所以当x∈(0,1)时,g(x)0,当x∈(1,+∞)时,g(x)0,

即在(0,1)上g(x)上是减少的,在(1,+∞)上g(x)上是增加的,

所以当x=1时,g(x)有最小值,所以g(x)≥g(1)=0,;规律方法含参数的单元函数不等式的证明的一般思路是:首先利用参数的范围,通过放缩法把参数消去,将问题转化为单元函数不等式的证明,再利用证明单元函数不等式的方法证明.;对点训练2(2022陕西咸阳一模)已知函数f(x)=3lnx+1+.

(1)求函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若0a≤1,g(x)=f(x)-2ax,证明:当x∈(0,1)时,g(x)≥2-3ln2.;考向3双元函数不等式的证明

例3(2022山东淄博一模)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax+1(a∈R).

(1)当a0时,设函数f(x)的最大值为h(a),证明:h(a)≥1;

(2)若函数g(x)=f(x)+x2有两个极值点x1,x2(x1x2),求a的取值范围,并证明:g(x1)+g(x2)2.;故h(a)在(0,1)上是减少的,在(1,+∞)上是增加的,

∴h(a)min=h(1)=1,故h(a)≥1.;(证法2)当-1xx1时,g(x)0,当x1xx2时,g(x)0,当x2x时,g(x)0,

∴极大值为g(x1),极小值为g(x2),

又g(0)=1-a0,则-1x10x2,∴当x0时,有g(x)≥g(x2),

又-x10,∴g(-x1)≥g(x2),

∴g(x1)+g(x2)≤g(x1)+g(-x1)=ln(x1+1)+ln(-x1+1)++2.

设h(x