北师版高考总复习一轮理科数精品课 第12章 概率 第5节 离散型随机变量的均值与方差.ppt

;内容索引;课标解读;强基础增分策略;1.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为P(X=ai)=pi,i=1,2,…,r.

(1)均值:称EX=为随机变量X的均值或数学期望.

反映了离散型随机变量取值的平均水平;微点拨1.均值(数学期望)是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.

2.EX是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量是可变的,可取不同值,而EX是不变的,它描述X取值的平均状态.

3.随机变量的方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,DX越大,表明平均偏离程度越大,X的取值越分散.反之,DX越小,X的取值越集中在EX附近.

4.方差也是一个常数,它不具有随机性,方差的值一定是非负数.;2.均值与方差的性质

(1)E(aX+b)=;?

(2)D(aX+b)=.?

3.二项分布的均值与方差

若X~B(n,p),则EX=,DX=.?

4.超几何分布的均值

若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则EX=.

微点拨已知随机变量的分布列求它的均值、方差,可直接按定义(公式)求解.若所给随机变量服从超几何分布或二项分布等,则直接利用它们的均值、方差公式更简便.;常用结论

1.若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=(EX1)·(EX2).

2.均值与方差的关系:DX=E(X2)-(EX)2.

3.Ek=k,Dk=0,其中k为常数.

4.E(X1+X2)=EX1+EX2.;增素能精准突破;;解:(1)Y1的分布列如下.;反思感悟1.求随机变量的期望和方差的基本方法:

(1)已知随机变量的分布列,直接利用期望和方差公式直接求解;

(2)已知随机变量X的期望、方差,求aX+b(a,b∈R)的期望与方差,利用期望和方差的性质(E(aX+b)=aEX+b,D(aX+b)=a2DX)进行计算;

(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如:超几何分布、二项分布等),可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.

2.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:

(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值;

(2)求X取每个值的概率;

(3)写出X的分布列;

(4)由均值的定义求EX;

(5)由方差的定义求DX.;对点训练1某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14),第二组[14,15),……,第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方??.

(1)根据频率分布直方图,估计这50名学生百米测试成绩的中位数和平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,结果精确到0.1).

(2)若从第一、五组中随机取出3名学生成绩,设取自第一组的人数为ξ,求ξ的分布列、数学期望及方差.;解:(1)由频率分布直方图知,百米测试成绩的平均值为;(2)第一组人数为0.06×1×50=3,第五组人数为0.08×1×50=4,

故第一组和第五组总共取7名学生成绩.ξ的可能取值为0,1,2,3.;;(2)蓝方机群共有8架战机,若甲、乙共同攻击(战机均在攻击范围之内,每枚导弹只攻击其中一架战机,甲、乙不同时攻击同一架战机).

①若一轮攻击中,每人只有两次进攻机会,记一轮攻击中,击中蓝方战机数为X,求X的分布列;

②若实施两轮攻击(用完携带的导弹),记命中蓝方战机数为Y,求Y的数学期望EY.;解:设甲、乙两名飞行员发射的第i枚导弹命中对方战机分别为事件Ai,Bi,;反思感悟1.求二项分布的均值与方差的一般思路:首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),那么用公式EX=np,DX=np(1-p)求解.

2.有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(aξ+b)=aEξ+b以及Eξ=np求出E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+b).;对点训练2某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况,对其每天的用水量做了记录,得到了大量该企业的日用水量的统计数据,从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本,得到如图所示的茎叶图(单位:吨).若用水量不低于95吨,则称这一天的用水量超标.

(1)从这12天的数据中随机抽取3个,求至多有1天的

用水量超标的概率;

(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为

概率,估计该企业未来3天中用水量超标的天数,记

随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数,求X

的分布列、数学期望和方差.;解:(1)记“从这12天的数据中随机抽取3个,

至多有1天的用水量超标