北师版高考总复习一轮理科数精品课 第11章 计数原理 指点迷津(十二) 排列、组合问题的解题策略.ppt

指点迷津(十二)排列、组合问题的解题策略第十一章

排列、组合问题的解题策略排列、组合一直是不少学生学习中的难点,通过我们平时做的练习,不难发现排列、组合问题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证,在高考中极易丢分.本文为学生提供了解决排列、组合问题的基本策略,遵循这些策略能较大程度地提高解决问题的能力.

策略一特殊元素与特殊位置优先策略例1.若从0,1,2,3,4,5这六个数字中选3个数字,组成没有重复数字的三位偶数,则这样的三位数一共有()A.20个 B.48个 C.52个 D.120个答案:C解析:根据题意,分2类情况讨论:①若0在个位,此时只需在1,2,3,4,5中任取2个数字,作为十位和百位数字即可,有=20(个)没有重复数字的三位偶数;②若0不在个位,此时必须在2或4中任取1个,作为个位数字,有2种取法,0不能作为百位数字,则百位数字有4种取法,十位数字也有4种取法,此时共有2×4×4=32(个)没有重复数字的三位偶数.综合可得,共有20+32=52(个)没有重复数字的三位偶数.故选C.

解题策略解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质,对于每一类还要注意分步完成.

策略二相邻元素捆绑策略例2.在毕业离校之前,有三位同学要与语文、数学两位老师合影留念,则这两位老师必须相邻且不站两端的站法种数为()A.12 B.24 C.36 D.48答案:B

解题策略关于相邻问题,要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决,即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

策略三不相邻问题插空策略例3.若4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排拍照,则其中任意2名教师不相邻的站法有种.?答案:1440解析:根据题意,分两步分析:先将4名演讲比赛获奖学生全排列,则有24×60=1440(种)符合题意的站法.故答案为1440.

解题策略对于不相邻问题,可以把没有位置要求的元素进行排列,再把不相邻的元素插入队列的中间或两端的空隙中.

策略四定序问题倍缩、空位插入策略例4.7人排队,其中甲、乙、丙3人顺序一定,共有多少种不同的排法?故共有840种不同的排法.(方法3)先让甲、乙、丙排队,有1种排法,再把其余4人分别插入,不同排法的种数为4×5×6×7=840.故共有840种不同的排法.

解题策略对于定序问题可以利用倍缩法,也可以转化为占位插空模型处理,只要选出有序元素所占的位置即可,相同元素的排列一般也按定序排列的方法处理.

策略五元素相同问题隔板策略例5.(1)从A,B,C,D4个班级中选10人组成卫生检查小组,每班至少选一人,每班人数的不同情况的种数为()A.42 B.56 C.84 D.168(2)将十个相同的小球装入编号为1,2,3的三个盒子(要把十个球装完)中,要求每个盒子里的个数不少于盒子的编号数,则这样的装法种数为()A.9 B.12 C.15 D.18

(3)把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里,使得第i个盒子中至少有i个球(i=1,2,…,10),则不同放法的总数是()(4)将8个相同的小球分别放入4个不同的盒子中,每盒可空,不同的放法共有()A.165种 B.56种 C.35种 D.20种

答案:(1)C(2)C(3)D(4)A解析:(1)将10个人排成一排,然后从中间形成的9个空中选3个,分别放入一个隔板,即可将10个人分为4个部分,且每部分至少1个人,(2)根据题意,先在编号为2,3的三个盒子中分别放入1,2个小球,编号为1的盒子里不放;再将剩下的7个小球放入3个盒子里,每个盒子里至少一个,分析可得,7个小球排好,中间有6个空位,在6个空位中任选2个,插入挡板,共=15(种)情况,即可得符合题目要求的装法共15种.故选C.

(3)先在第i个盒里放入i个球,i=1,2,…,10,即第1个盒里放1个球,第2个盒里放2个球,…,这时共放了1+2+…+10=55(个)球,还余下1995-55=1940(个)球.故转化为把1940个球任意放入10个盒子里(允许有的盒子里不放球).把这1940个球用9块隔板隔开,每一种隔法就是一种球的放法,1940个球连同9块隔板共占有1949个位置,相当于从1949个位置中选9个位置放隔板,有种放法.故选D.(4)首先设想每个盒子内放入1个小球,共用去4个小球,(添加4个这样的小球)将问题转化为把12个相同的小球分装到4个不同的盒子中,每个盒子里至少一个球,求不同的放法的问题,利用隔板法,把12个小球排成一列,在11个空隙中插入3个隔板,即得不同的放法