2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章　§1.4　基本不等式.docxVIP

§1.4基本不等式

考试要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简洁的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．

学问梳理

1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．

(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．

(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

3．利用基本不等式求最值

(1)已知x，y都是正数，假如积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).

(2)已知x，y都是正数，假如和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

留意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．

思考辨析

推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)不等式ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2与eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)等号成立的条件是相同的．(×)

(2)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.(×)

(3)若x0，y0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(√)

(4)函数y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值为4.(×)

教材改编题

1．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为()

A．16B．8C．4D．2

答案A

解析由于正实数a，b满足a＋4b＝ab，

所以ab＝a＋4b≥2eq\r(4ab)＝4eq\r(ab)，

所以ab≥16，

当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时等号成立．

2．函数y＝x＋eq\f(1,x＋1)(x≥0)的最小值为________．

答案1

解析由于x≥0，所以x＋10，eq\f(1,x＋1)0，

利用基本不等式得y＝x＋eq\f(1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－1≥2eq\r(?x＋1?·\f(1,x＋1))－1＝1，

当且仅当x＋1＝eq\f(1,x＋1)，即x＝0时，等号成立．

所以函数y＝x＋eq\f(1,x＋1)(x≥0)的最小值为1.

3．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

答案25

解析设矩形的一边为xm，面积为ym2，

则另一边为eq\f(1,2)×(20－2x)＝(10－x)m，

其中0x10，

∴y＝x(10－x)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋?10－x?,2)))2＝25，

当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，

∴ymax＝25，

即矩形场地的最大面积是25m2.

题型一利用基本不等式求最值

命题点1配凑法

例1(1)已知x2，则函数y＝x＋eq\f(1,2?x－2?)的最小值是()

A．2eq\r(2) B．2eq\r(2)＋2

C．2 D.eq\r(2)＋2

答案D

解析由题意可知，x－20，

∴y＝(x－2)＋eq\f(1,2?x－2?)＋2≥2eq\r(?x－2?·\f(1,2?x－2?))＋2＝eq\r(2)＋2，当且仅当x＝2＋eq\f(\r(2),2)时，等号成立，

∴函数y＝x＋eq\f(1,2?x－2?)(x2)的最小值为eq\r(2)＋2.

(2)设0xeq\f(3,2)，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．

答案eq\f(9,2)

解析∵0xeq\f(3,2)，∴3－2x0，

y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋?3－2x?,2)))2＝eq\f(9,2)，

当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq\f(3,4)时，等号成立．

∵eq\f(3,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，

∴函数y＝4x(3－2x)eq\b\lc\(\rc\)