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专题19立体几何中的角度与截面问题
一、单选题
1.(2024届】四川省仁寿高三上学期模拟)如图,在直三棱柱中,面,,则直线与直线夹角的余弦值为(????)
??
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在直三棱柱中,平面,平面,
所以,,
平面,平面,所以,
所以相互垂直,
以为原点,分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,
设,
则,
可得,,
所以.
所以直线与直线夹角的余弦值为.故选C.
??
2.(2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测)在四周体ABCD中,已知为等边三角形,为等腰直角三角形,斜边,,则二面角的大小为(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】??
如图,取AB中点M,连接CM,DM
由于为等边三角形,为等腰直角三角形
所以,
故即为二面角的平面角.
由于,所以,
所以
所以即二面角的大小为.故选D.
3.(2023届山西省百师联盟高三下学期联考)在棱长为2的正方体中,E为CD1上的动点,则AE与平面所成角的正切值不行能为(????)
??
A.1 B. C. D.
【答案】D
【解析】如图,
??
在上取点,使得,连接,
由,可知四边形为平行四边形,则,
由于平面,,所以平面,
所以与平面所成角为,,而.
所以.明显,故D不行能.故选D
4.(2024届湖南省衡阳市高三上学期阶段性测试)如图所示,圆锥底面半径为2,为底面圆心,,为底面圆上的点,且,,则直线与所成角的余弦值为(????)
??
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接,取,,的中点分别为,,,连接,
??
则,,平面,
所以(或其补角)为直线与所成的角,
又平面,平面,所以,,
由于,,,
所以,,,,
所以,,,
则由余弦定理得:,
所以直线与所成角的余弦值为,故选A.
5.(2023届河南省五市高三下学期其次次联考)已知底面边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球,圆锥是三棱柱的外接圆锥,且三棱柱的一个底面在该圆锥的底面上,则该外接圆锥的轴截面面积的最小值是(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】正三棱柱内切球半径即为内切圆半径,
??
由等面积法可知,,所以,所以,
设分别为和外接圆的圆心,则,
由正弦定理可得,所以,
设,则,所以,解得,
所以,圆锥轴截面面积,
当且仅当,即时等号成立,即轴截面面积的最小值是.故选C
6.(2023届江西省景德镇市高三第三次质量检测)某地举办数学建模大赛,本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成,如图①,已知球的表面积为,托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠形成,即面,面,面都与面垂直,如图②,则经过三个顶点A,B,C的球的截面圆的面积为(????)
??
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设三点在底面上的射影分别为,
由于面,面,面都与面垂直,
所以是三边中点,
所以与全等,且所在平面相互平行,
所以经过三个顶点的球的截面圆与的外接圆相同,
由题意,,
所以的外接圆的半径为,
则经过三个顶点的球的截面圆的面积为.故选B.
??
7.(2024届广东省阳江市高三上学期调研)三棱锥中,,则直线与平面所成角的正弦值是(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
取中点,连接,
,
≌,,,
,是边长为的正三角形,
,
面,面,
作于,面,
面,面,
在中,由余弦定理得
,,
,,,
,
,
设点到平面的距离为,
由得,
即,解得,
所以直线与平面所成角的正弦值为.故选A.
8.(2023届陕西省西安市高三高考综合测试)在三棱锥中,侧面PAC是等边三角形,底面ABC是等腰直角三角形,,,点M,N,E分别是棱PA,PC,AB的中点,过M,N,E三点的平面截三棱锥所得截面为,给出下列结论:
①截面的外形为正方形;
②截面的面积等于;
③异面直线PA与BC所成角的余弦值为;
④三棱锥外接球的表面积等于.
其中全部正确结论的序号是(????)
A.①④ B.②③ C.①③④ D.②③④
【答案】C
【解析】取的中点为,连接,
由于点分别是棱的中点,所以,,可得;
又,,即;
所以四点共面,且四边形为平行四边形,
取的中点为,连接,如下图所示:
??
易知,又是等腰直角三角形,且,所以,可得;
又,平面,所以平面;
易知平面,可得;
又,,所以,
且,所以四边形为正方形,
即截面的外形为正方形,所以①正确;
由正方形面积公式可知,四边形的面积为,即②错误;
设,可得,
所以,
易知,,
在中,,所以,可得;
所以,
所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为,即③正确;
易知,,所以可得;
又,且,平面,
所以平面,
又平面,所以平面平面;
所以可得外接球球心在上,设,半径为,
则,解得,;
所以三棱锥外接球的表面
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