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专题16数列解答题分类练
一、方程思想求数列通项
1.（2024届山东省齐鲁名校高三上学期联合检测）记等比数列的前项和为，已知，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）设的公比为，由，，，成等差数列，得，．
当时，，符合题意，所以；
当时，所以，，则．
综上，或．
（2）当时，，
所以；
当时，，
所以，
则，
所以，
所以．
综上，或
2.（2023届天津市宁河区芦台第一中学高三上学期期末）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且．
(1)求和的通项公式；
(2)令，求证：；
(3)记其中，求数列的前项和．
【解析】（1）∵数列是公差为1的等差数列，且，
∴，解得，
∴，
∴数列的通项公式为：.
数列是等比数列，且，
设数列的公比为，
∴，解得，
∴，
∴数列的通项公式为：.
（2）由（1）知，
∴
，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
（3）由（1）可知，
∴，
∴，
令，，
∴
，
，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴数列的前项和.
二、等差数列与等比数列的证明
3.（2024届贵州省贵阳市高三上学期8月考试）设为数列的前项和．已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）证明：已知①，
当时，②，
①②得：，即，
所以，，
当时，则，则，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）解：由（1）可知，，则，
所以，，
所以，，
.
4.（2024届湖南省常德市第一中学高三上学期第三次月考）已知正项数列的前项和为，.
(1)记，证明：数列的前项和；
(2)若，求证：数列为等差数列，并求的通项公式.
【解析】（1），
；
数列为正项数列，，，则.
（2）当且时，，
，
整理可得：，，
经检验，当时，，得，满足条件，
又，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，.
5.（2023届陕西省西安市大明宫中学高三高考综合测试）已知数列的各项均为正数，且满足．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）由，
得，
两式相减得，
即，
所以，
又因，所以，
当时，，解得（舍去），
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
则，
则，
，
两式相减得
，
所以.
三、裂项求和
6.（2024届四川省眉山市东坡区高三上学期开学考）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，成等比数列，，求的值．
【解析】（1）数列的前项和为,①,
当时,②,
①②得：，所以,
又，也满足上式，故．
（2）由于，所以,故,
由于,,成等比数列,所以,
解得或（负值舍去）,
,
所以
.
7.（2024届安徽省皖东名校联盟体高三上学期9月其次次质量检测）数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和．
【解析】（1）当时，有相减得，即，各项均为正数，
所以，
又当时，，
解得或(舍)，
所以对任意正整数n，均有，
故是以首项为1，公差以1的等差数列，
所以．
（2）由于，
故，
由（1）得，
记前n项和为，则
，
所以.
8.（2024届黑龙江省哈尔滨工业高校附属中学校高三上学期9月月考）已知数列，是数列的前项和，满足；数列是正项的等比数列，是数列的前项和，满足，（）.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）依题意；
当时，；当时，适合上式，
所以数列的通项公式.????
又由于，数列为等比数列，??
所以，解得或（舍去），所以；
（2）由题意可知，，；
由已知
设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，
所以，，
当为奇数时，??，
所以，??
当为偶数时，，所以
，
由，得，即，
当为偶数时，对一切偶数成立，当时，为最小值，所以，
当为奇数时，对一切奇数成立，当时，为最大值，
所以此时，
故对一切恒成立，则．
9．（2024届湖北省黄冈市高三上学期9月调研）设等差数列前项和，，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和为，求证.
【解析】（1）依题意有，
，，
又为等差数列，设公差为，
，.
（2）由（1）可得，
，，，，，
.
四、错位相减法求和
10.（2024届湖南省邵阳市邵东市高三上学期其次次月考）已知数列满足，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】（1）由题意知，
则当时，，
故两式相减得，即，
又当时，，，故，
即也适合；
所以当时，，
即，也适合，故；
又数列满足，，
则为等比数列，设公比为q，则，
故，即；
（2）由（1）可得，
故，
则，
故
，
故.
11.（2024届广东省南粤名
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